下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
大学里的数学不再关注答案，而是关注证明过程，这可能会让那些以前喜欢数学的人（因为他们发现很容易得到“正确答案”）难以接受。大学里的数学题不再是“这道题的答案是什么”，而是变成“证明这是正确答案”。甚至“答案”已经在问题中给出，你只需要表述证明的过程。
我们也可以改变孩子的思维方式。对于这个问题，我最欣赏克里斯托弗·丹尼尔森在《谁与众不同？》（ Which One Doesn’t Belong? ）一书中的观点。书的每一页都有4幅图片，并提出一个问题“谁与众不同？”。但其实每张图片都有与众不同之处，这取决于你如何认定“同”与“不同”的标准。因此并没有所谓正确与错误的答案，只有不同的选择。这样的思维方式让我们开始摆脱追求正确答案的束缚，转而关注证明过程。
我能想象得出在其他场合应用这种思维方式，比如乘法表。与其问孩子“6×8等于几”，还不如说“告诉我为什么6×8=48”。如果我们问“6×8等于几”，他们很有可能仅仅是“知道”问题的答案，我就能不假思索地说出“六八四十八”。但是如果有人不相信我的答案，我可以采用各种各样的方式来证明我的答案，比如：
● 以8为间隔计数：8、16、24、32、40、48。
● 我可以说6=3+3，为了回答6个8是多少，我可以算出3个8，再加上3个8。
● 同样，8=4+4，所以我可以让6个4加上6个4。
● 我可以说6个8等于8个6，而8=10 – 2。所以为了算出8个6，我可以先算出10个6，再减去2个6。
● 或者6=5+1，我可以算出5个8，再加上1个8。
学校已经开始应用类似的教学方式，因为学生们需要学会运用不同的“策略”来解决同一个问题。我经常听到家长们抱怨这种无意义的行为，说孩子们已经知道了一种方法，为什么还要学习其他方法（尤其是当家长自己也不知道这些方法的时候）。
用不同的方法来思考某件事的意义在于，它能让你对这件事有更深刻的理解，让你有机会利用更多的方法来检验你是否已经把事情做对了。比如，你为了修缮屋顶而搭建一个脚手架，在把性命交付给这个脚手架之前，你总要用多种方法而不是一种方法来检验它的安全性。
这就是为什么数学不仅关乎得到正确的答案，而且关乎如何知道答案是正确的。但有一个问题，乘法表出现在数学教育相对早期阶段，“数学高手”往往很快就掌握了基本的乘法表。这让人觉得他们好像记住了所有的内容，然后制造了一种假象，即背诵乘法表是学好数学的关键。
事实并非如此。我个人从未背诵过乘法表，我的博士生导师马丁·海兰给我讲了一个他小时候与乘法表的故事。在他8岁的时候，班里每天都要测验乘法表，如果有学生连续3天答对了所有的问题，那就不需要再参加测验了。他是班里唯一一个从未答对所有问题的孩子，他也是班里唯一一个后来成为享誉世界的数学家和剑桥大学教授的人。正如他所说，他“总是记不住那些看似毫无意义的事情”，但是“对见解形成的过程有良好的记忆力”。抽象数学就是见解形成的过程，但可惜的是，太多的孩子把乘法表当成只需要死记硬背的无意义的工具。
我并不是记忆高手。我知道乘法表，也能快速地背诵出来，但或许只是10以内的数字相乘（顶多到11吧）。我并没有刻意去记这些内容，至少没有采取死记硬背的方式。它们存在于我的记忆中，或许就像我的名字也在我的记忆中一样，但要说我记住了自己的名字或许有点儿奇怪。我更倾向于说我知道乘法表，或者也可以说我“消化”了乘法表。总之，我充分理解数字间的各种关系，能利用不同的方式很快把它们记在脑海中，包括心理成像、运用交换律（数字相乘的顺序对结果没有影响）、结合律（乘法的组合方式对结果没有影响），以及乘法对加法的分配律。这也让我拥有了更多的方法向不理解的人解释清楚，我非常享受这个过程。这就是为什么我如此热衷于教学，尤其喜欢与那些经常提出幼稚问题的学生互动，而不喜欢跟自以为所有问题都“显而易见”、不需要解释的学生打交道。那些所谓显而易见的问题往往最能说明数学证明过程的重要性，如果对其视而不见，我们就会错过数学中很多深奥、富有启发性的内容。一个经典的例子就是除以零。我想用这个问题来结束这一章，并汇总我们前面讨论过的所有数学准则。