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这里就出现了一个矛盾。一方面，在很多情况下，两个明显矛盾的立场都有可能是正确的，这意味着我们并非处在一个非对即错、非黑即白的二元环境中。然而另一方面，数学是一门基于逻辑的学科，而且大多是二元逻辑，也就是一个命题非真即假。我是不是自相矛盾了？我希望你能理解，我想要表明这两种理论都是正确的，它们其实并不矛盾。关键之处在于，领会那种“彼此都有理”的感觉，它与我们用来构建数学基础的二元逻辑理论在不同的层面上运作。
作为数学基础的逻辑，或许是我承认数学答案有对错之分的根本所在。但这仅仅是指我们用来构建理论体系的基本逻辑，而非理论体系本身。基本逻辑源于逻辑蕴涵，其表现形式是“A蕴涵B”，其中A和B都是命题。这项逻辑蕴涵的意思是“当A为真时，B必然为真”。另一种表述“A蕴涵B”的方式是“如果A，则B”（或者更简单地说，“A为真，B也为真”）。
在某种意义上，像这样的陈述是二元的，但其中也有细微的差别。从一个命题非真即假的意义上说，它们都是严格意义上的二元逻辑。要么A迫使B为真，也就是该蕴涵为真；要么A不能迫使B为真，也就是该蕴涵为假。歧义仍然存在，比如A或许并非导致B为真的唯一因素，而可能在某种程度上推动了B。但是在数学逻辑中，这种情况仍然被认为蕴涵为假。这就是建立细微差别的意义：因为细微差别被吸收了。我们可以看看下面的表述：
如果你是人类，则你是哺乳动物。
从定义上说，这个命题绝对为真，因为根据生物学，人类是哺乳动物的一个分支。但是再看看这个表述：
如果你是白人，则你是富人。
并非所有的白人都很富有，但是有些白人的确富有。更重要的是，无论在英国还是美国，平均来看，白人的确比黑人更富有，或许在全球范围内都是如此。我们或许会说，这种蕴涵关系有时为真，有时为假，或者平均来看为真，但这样的结论不被二元逻辑接受，基本逻辑理论把“有时为真”的结论视为蕴涵为假。这就是我主张的二元逻辑吸收细微差别的现象。
如果细微差别被吸收了，你可能会想它是不是被丢弃了。然而，一个重要的现象是，它并未被永久吸收。我们在数学领域进行的抽象化处理并非永久性的，而只是临时的举措，让我们以此深入理解某个现象。我们还会不断提炼我们的思想，即使使用二元逻辑，我们也可以不断探索更深层次的细微差别，并将其表述出来。例如：
在英国和美国，白人的收入中位数高于黑人的收入中位数。
但个人收入并非衡量财富的唯一标准，我们还应该关注家庭收入或家庭财产总值。我们可以看看社会资源的分配情况，比如教育和医疗保健以及一些社会因素，如投票权、监禁和警察暴力。我们还可以抛开中位数，以百分位数为标准。类似的细微差别还有很多。
比如，我们还可以将细微差别纳入不同的背景环境，也就是说，我们或许可以在任何背景条件下对其进行正确或错误的二元判断，只是在描述具体的背景时加入一些细微差别。正如1+1不一定只有一个正确答案，但是在某个特定背景条件下它的答案是唯一的。同样，“所有人都是种族主义者”这个命题可真可假，取决于我们对“种族主义者”的定义，也取决于我们讨论这个话题是为了探究“种族主义者”的含义，还是为了（徒劳地）指责某人。
总之，我承认，在某种意义上，数学确实对正确与错误有着清晰无误的判别标准，因为它基于逻辑运作。逻辑朝着特定的方向运行，违背这些方向就是不正确的。然而，这与声称“1+1=2”并断言这是唯一正确的答案的行为并非同一对错类型。逻辑的对错更多是推导过程的正确与错误。例如，我们知道“A蕴涵B”为真，那么只要A为真，我们就可以正确地推导出B为真。但如果我们知道B为真，并不意味着我们可以推导出A为真，这是逻辑上的错误。日常生活中这类错误数不胜数。比如，我们知道非法居住在这个国家的人都是移民，因为他们必然来自国境之外的某个地方。但有人声称移民都是非法居住者，这就是一个错误的逻辑，这里不存在正确与错误的细微差别，因为逻辑本身就是错误的。从另一方面来看，有人害怕移民，他们可能反对移民政策，不喜欢与移民相处。我认为持这种观点的人相当无知、令人反感、带有偏见、心胸狭窄，而且往往很虚伪，但是他们的观点在逻辑上并没有错误。
所以我会说，数学并不是为了找到正确答案，而是要构建无懈可击的证明过程。