数学的逻辑最新章节_郑乐隽著

当数学家感到不安时

究竟什么是数字？我们之前回避了这个问题，但如果我们接触到更复杂的数字，这个问题就不那么容易回避了。我们经历了一个极其复杂的过程才说清楚整数的概念，包括负数，但我们毕竟做到了。如果再前进一步，阐明分数的概念恐怕会更复杂，它也被称为“有理数”，因为它代表了一种比例关系。但与此截然不同的是所谓的“无理数”。对于这类数字，实际上不难说出它们在世界上描述了什么，但很难把它们构建成一个数学世界。在面对整数的时候，我们认为数字1是基本构成要素，并以此来构建整个世界。那么对于无理数，它的基本构成要素是什么就很难讲清楚了。

你可能已经不记得什么是无理数了，所以我本应告诉你它的定义，但问题就在于很难描述它的定义。有时候无理数被定义为“无限不循环小数”，但这究竟是什么意思？如果一个小数以不循环的方式无限延续，我们怎么知道它是什么样子？无论我们列举出多少小数位，都可能漏掉一些（实际是无穷多）小数位，而我们又无法以某种标准的模式来描述它们，因为它们的特点是永不重复，没有模式可言。

这时候你可能再一次感到费解、困惑、眩晕、不知所措，这些都是经常出现的数学直觉。所谓的“数学高手”对这类问题往往面不改色，从容应对，让那些困惑不已的人觉得自己像个“数学废柴”。事实并非如此，如果有些人欣然地接受了这些概念，那就说明他们必然遗漏了某些细节。

无理数的故事可以追溯到很久以前，它们的出现甚至早于数学家找到理解它们的有效方法。古希腊的数学家已经发现某些东西无法用分数来表示，找到这样一个“数字”并不难（难的是如何证明它不是分数），例如下面这个正方形：

这个正方形的边长为1。你可能会问长度的单位是什么，但抽象数学的美妙之处就在于，长度单位并不重要。1就是一个长度，仅此而已，既然不重要，我也就不做说明了。

现在，我们来看看这个正方形的对角线长度是多少。（你或许又搞不懂我们为什么要操心它的对角线，我只能说这也是一种数学冲动。）如果你还记得毕达哥拉斯，你就能把这个数字计算出来：毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形“两条短边的平方和等于长边的平方”。这个定理可以简洁地表述为（又是字母！）：

于是我们可以把这个定理套用到正方形中的一个三角形上：如果对角线的长度是 d （字母又出现了），那么它的公式就是：

1 ² +1 ² = d ²

这告诉我们：

2= d ²

它表示， d 是一个平方数为2的数字。然而，我们有可能发现，没有任何一个分数 d 能满足这个条件。这意味着我们只有两种选择：正方形的对角线是一个无法测量的长度，抑或必然存在一种无法用分数来表示的数字。

第一个选择从逻辑上讲并不意味着末日降临，只是让人感受到一丝局限，不那么令人满意。怎么会出现一个没有长度的线段呢？良好的数学直觉让我们察觉到怪异之处。如果我们只允许数字包含分数，那么分数之间就会出现没有数字的微小空白地带。我们可以在空白处放上一个分数，但如果放大来看，空白依然存在。就像我们尽量放大计算机显示器的曲面屏幕，最终只会看到单个的像素一样。

如果数字之间存在空白，那就说明在成长的过程中会有那么一刻我们没有身高数值，这真是太匪夷所思了。因此另一个选择就是，允许一类崭新的数字走进你的生活。

你当然可以决定不让某些东西走进你的生活，很多人就顽固地拒绝接受新事物（比如同性婚姻、非二元性别，或者女数学家），但数学不是这样的（遗憾的是，有些数学家就是这么想的）。数学并非一成不变的僵化知识结构，它总是想接纳新事物。它不一定会让更多的事物进入某些特定的领域，但总是乐于研究一个新的世界，观察新事物如何与旧事物和谐共存。

因此，数学对正方形的对角线显然采取了一种包容的态度，它绝非没有长度，所以必然存在一种分数以外的数字。接下来的问题就是：如果它们不是分数，那么它们是什么？

1872年，数学家格奥尔格·康托尔和理查德·戴德金（分别）在思考该如何用严谨的方式向学生们传授数字的概念。我想象中的场景是这样：就像所有优秀的教师所做的那样，他们在备课时也会猜想学生们的反应，想着如何引起他们的共鸣，并为学生们有可能提出的各类问题准备好答案。这样做能促使优秀的教师更深入地理解授课内容，因为学生有可能从各个角度提出问题，你自己必须从各个角度理解相关知识点。康托尔和戴德金都发现，数学家构建的数字系统并不严谨，于是他们开始动手填补空白。

人类与生俱来的好奇心推动着他们在同一时间开始研究这个课题，但方法截然不同。如果不介绍大量的技术背景，二人的研究方法就很难被解释清楚，但我尽量说明他们的思路。康托尔的想法更像“无限不循环小数”，他借用另一位伟大数学家奥古斯丁·路易斯·柯西的思想，找到了一个精确描述这类小数的方法。因此他的结论通常被称为“柯西实数”，尽管这有些令人费解，但仍值得人们尊敬。戴德金的想法更像找出所有切蛋糕的方式，而不是试图拾起所有的碎屑。如果你找到了所有的切蛋糕的方式，你实际上就已经间接地找到了所有的碎屑。两种思路都为我们提供了填补分数之间的空白的方法，从而构建了一个严谨的数字结构。

然而，我在这里并不是要解释康托尔和戴德金的“实数”结构，也就是包含了无理数的数字体系，我只是想说明，只有深入理解某些事物，才能将其更好地传授给他人，这也是推动数学研究持续发展的因素之一。康托尔和戴德金为精确定义实数概念所做出的贡献，推动了整个微积分领域的发展，而这反过来又使当代世界的所有发展得以实现。这一切都来自两名担心不能回答学生提问的教授。