零

零这个数字让人颇感困惑，因为它既表示什么都没有，又是一个客观存在的事物——一种代表什么都没有的事物。很难想象零个草莓和零个香蕉之间有什么共性，因为我们根本看不到零这个东西。我曾经发现我有3个三孔打孔机、2个两孔打孔机、1个一孔打孔机，有人说我还有零个“零孔”打孔机，我有点儿不敢承认。或许任何不能打孔的东西都算是零孔打孔机？这样说来，我的水壶也是零孔打孔机，还有我的计算机、咖啡杯，实际上我所有的东西都是零孔打孔机。

同样，放眼四周，我们随处可“见”零个草莓，以及各种各样的零个东西。这可奇怪了，如果你和我一样，你现在就会有点儿头晕，因为你意识到，到处都是零个各种各样的事物。我需要闭上眼睛，深吸一口气，回到现实中来。实际上，在想象中突然“看到”所有这些零事物所带来的困惑感，就是我在从事数学研究中经常浮现出来的感觉。它往往伴随着一种轻微的眩晕感，一种一个无限想象的世界突然闪现在眼前的感觉，伴随着迷惑、慌乱、兴奋，然后回到现实。我喜欢这种感觉。

零的概念具有漫长复杂的历史，可以写成一整本数学历史书。这不是我的目的，我的目的是验证零有点儿奇怪的感觉。而且，零的概念与把这个概念当作一个数字纳入我们的数字体系，是完全不同的两件事。这是一个相当重要但极其微妙的差别，在我看来，这与数学究竟是一个发明还是一个发现的问题有关。我的立场是，数学的概念存在已久，因此是人类的一个发现，但我们书写数学以及利用数学进行推理的方法是人类独特的行为，因此算是一项发明。有时候，概念与研究概念的方法极易混淆，所以我觉得没必要（也不重要）区分发明还是发现。

很多古代文明 ，包括古埃及、玛雅、古巴比伦和古印度文明，都认可零的概念，并赋予它一个符号。古希腊人对零的身份明显有些顾虑，因此不把它当作一个数字。直到今天，很多人对什么可以被算作数字还有不同的见解，大部分人似乎已经接受了零、负数和分数的概念，但当我们接触高等数学中的“虚数”等概念时，问题就变得复杂了。（或许你还不知道那是什么，我们会在第4章做详细的介绍。）我曾经收到一些人发来的怒气冲冲的电子邮件，告诉我虚数不应被称为数字，因为它们根本就不是数字。（当然这件事不能怪我，但人们依然坚持找我来伸张正义。）的确，什么才算“数字”的问题迫使我们不得不对数字做出更精确的定义，这不禁让我联想到历史上人们对数字越来越宽容的接纳度，不过是有人后知后觉罢了。这并不奇怪，我们对整个社会也表现出愈加宽容的态度，后知后觉者或许接纳了女性和黑人，但不接纳同性恋，或许接受了同性恋和双性恋，但不接受变性人。

用一种简便的方式来回答零究竟是不是一个数字的问题，就是巧妙地回避它。“数字”是什么很重要吗？与其操心这件事，我们不如构建一个把零作为基本构成要素的世界，然后看看这个世界是什么样子的。我们不需要说明零究竟是什么以及它代表了什么，只需要观察它是如何与系统中的其他元素互动的。

在数学中，通常的方法是基于以往的世界进行构建。目前我们已经有了一个从1开始、运用加法构建的世界，得到了所有的数字1、2、3等等。当把0放入这个世界时，我们就需要知道如果我们把它“构建”在其他数字之上会发生什么，也就是让它与其他数字相加的结果是什么。私下里，我们都认同0表示什么都没有，于是我们就可以说，任何数字与0相加都不会发生变化。也就是1+0=1、2+0=2、3+0=3，以此类推。我们无法列出所有的等式，因为有无穷多的数字还在后面等着。于是我们把结果概括为：

这看起来有点儿啰唆，我们可以给数字起一个名字，比如 x ，并让它代表“任何一个数字”。我们现在把一个数字变成了一个字母，这个变化可能会让你的内心惶恐不安，我们稍后会讨论这个问题。但现在我希望你至少能看到（我是说字面意思），这么做能让我们把上述文字变成一个更简单的表达式：

这有点儿像投机取巧，因为我们并没有解释为什么零是一个表示什么都没有的数字，而是说它与一个数字相加的结果是什么。这就是典型的抽象数学，或许比较实用，但的确不那么具有启发性。我们把某些直觉认知转化成可推理的元素，目的就是对其进行推理，却使它失去了某些直觉的色彩。这种矛盾关系一直存在于抽象数学领域。 ^[4]

不管怎样，我们给自己创造了一个包括零在内的世界：我们把它放进去。于是我们可以说，“我宣布存在一个叫零的东西，它依据上述规则与其他数字互动”，然后我们继续我们的游戏。再然后，我们可以用同样的方式阐明负数的意义。 QOWDcPF37Rg9tSFr8UdapT21TEa/Sb48rh1p9eRQ6E+d5w47PxQpFtqNNv8ch/+l