负数的概念

负数的概念很复杂，因为正数已经足够复杂了。我们知道，正数源于我们意识到不同物体的集合之间存在可类比性，从而将其演化成一个抽象的概念。但是负数不可能来自实物间的类比，我们不会看到“负物体”，也不能数出-2个草莓、-2根香蕉，更不会说“啊哈，这些物体集合的共性就是-2的概念”。

但的确有一些标准的方法能让我们理解负数的概念，方法之一是改变方向。如果向前走10步，再向后退10步，你就回到了起点。这两个不同的方向互相抵消，于是我们就可以称后退的方向为“负”。这是一个合乎直觉的实例，却不那么合乎逻辑（当然它也并不违背逻辑），也不大容易转移到其他负数的概念上。我们怎么才能理解-10个其他东西，比如-10个苹果，或者-10磅 ？

另一种方法是通过“债”的概念来理解负数。如果你欠某人10英镑，那就说明你不但没有10英镑，更糟糕的是你实际上还少了10英镑。但这也是一个颇为抽象的概念，孩子们从不会亏欠某人什么东西，他们很难理解这些。你要么有一块饼干，要么没有，欠朋友一块饼干究竟是什么意思？

或许可以这样说，你需要从什么地方找到一块饼干，然后把它送给你的朋友。通常情况下如果有人给你一块饼干，你就拥有了一块饼干。但是欠朋友一块饼干的意思是，即使有人给你一块饼干，你也有道德上的义务把这块饼干送给你的朋友，最终你自己一块饼干都没有。

把道德义务放在与数字有关的讨论中或许有点儿奇怪，但这表明，负数，即使是负整数，也是一个极其艰深的概念，我们必须承认这一点。它要比正整数的概念更抽象，因为正整数至少是某些实体物的抽象演绎，而负整数是把本已抽象的概念进一步抽象化。这个时候你可能已经高举双手投降了，但我欣慰地发现，我们的大脑完全有能力处理这些概念。随着我们的成长，我们越来越有能力应对一些假设的场景，只要我们能充分运用想象力在一个非现实的世界中遨游。这有点儿像魔幻现实主义，也就是超越“虚构”的一个想象级别。虚构是一种基于真实世界的想象，但魔幻现实主义是一种基于现实世界想象版本的想象，在这个场景中，出现略有不同的事物是可能的。而“幻想”或许更进一步，它所想象出的场景基于一个并非以真实世界为蓝本的想象版本，更具天马行空的意味。

我觉得一个很有趣的现象是，我们的怀疑似乎只能推进到这个程度。有一些书（我还是不说出书名，以免剧透），其全部内容都是书中的某个人物虚构出来的故事。有人对结尾的大反转深感不安，称不可能有人杜撰出如此完整的虚构故事情节。但这本书实际上就是一个作家虚构的作品，读者显然能接受某个真实的人物创作出一部长篇虚构故事的事实，却不能接受书中一个虚构的人物也能做同样的事。

每个人对虚构故事里的情节都有不同的接受程度，对数学中的抽象概念也有不同的接受程度。有的人喜欢非虚构类作品，有的人喜欢虚构类作品，但不喜欢魔幻现实主义。我个人更喜欢魔幻现实主义，但不喜欢幻想。然而我热爱数学的抽象概念，不仅能接受，而且喜欢并欣赏它。我热爱它自身的存在，更欣赏它所能达成的目的。抽象数学包含了对现实的想象和假设，有时还会把各类假设多次叠加，但都是为了照亮现实。负数从某种程度上说是数学家虚构出来的概念，它包含了日常生活中的各类场景，但并不是直截了当的计数。前进和后退或许与债务截然不同，但是如果我们运用更加抽象的想象力，或许就可以看到其中的联系，就像我们在前面章节里为不同事物寻找关联性一样。

在前进和后退的例子里，我们说如果前进10步再后退10步，我们就回到了出发点。在债务的例子里，我们说如果欠朋友10块饼干，即使有人给我们10块饼干，我们还是没有饼干，因为我们不得不把10块饼干给我们的朋友。这两个例子都涉及“归零”的概念。因此，要想理解负数，我们先要理解“零”。 ZwQApKyG5DCXId9FvAMRo8Jc1ZZKeas3jNpuD4hfnlNymRqlje78GW+IJL/HI5bW