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在这一章的开始，我们讨论了1+1存在各类不同答案的可能性。我们当然可以说很多答案“不是真正的数学”、“不是真正的数字”或“不是真正的加法”，但是数学家更希望去研究而不是忽略这些具体的场景，既为了更好地了解它们，也为了深入理解在什么情况下1+1等于2。我在学习驾车的时候，教练曾让我故意把车搞熄火，这样我才能更好地了解离合器的作用。探索某件事什么时候不起作用，能让我们更好地理解它什么时候起作用。
探索1+1何时出现不同的答案也涉及相似性和差异性。我们研究了1+1=0的情况，但后来我们也发现这些情况之间有一些相似之处和差异。其中一些是0，因为某些东西被“抵消”掉了，比如那一大堆的“不是”或考试题目中的负号。另一些是零，因为整个世界都是零，就像我小时候的零人工色素糖果世界。这些情况稍有不同。
如果整个世界都是零，那么1=0。这似乎是个明显“错误的”结论，但它只是在常规的数字世界中呈现出错误的样子。在零的世界里它就是正确的，在其他对1和0有更复杂定义的世界里，它也是正确的。
能让某些东西相互抵消的世界尤其特殊，因为在这个世界里，1和0代表完全不同的含义，只不过1恰好被自己抵消了。因此，这样的世界可以被描述为一个封闭抽象的结构，其中包含两个对象和一种组合方式，以满足这种特定的“抵消”关系。我们可以用这样一个简单的网格来表示：
如果我们把这里的0当作“零个负号”，把1当作“一个负号”，那么这个网格就揭示了正负数相乘的结果，与奇偶数相加的模式一样。
在数学领域，我们往往会发现各种各样的规律，我们将其单独列出（如同上面的网格），然后，一旦意识到这种规律，我们就会发现它其实也出现在以前从未想到的场合。我曾经利用这种特殊的规律帮助自己了解容忍度的问题。我们有时会纠结是否容忍某些事情、某些人，尤其是对那些不那么容忍他人的人，我们是否也要容忍他们。然而，我觉得这就是上述规律的一种变体，如下面的网格。我认为，如果我们容忍不容忍的现象存在，就等于纵容不容忍的行为，因此我们不应当容忍不容忍的现象，这样才算是真正的容忍。
这些例子都表明了抵消现象的存在，从而导致1+1=0。你有可能在大学本科高等数学课上学到这类抽象化的结构，它叫“二阶循环群”。
那么1+1=1又是怎么回事？为什么额外增加1对原始数据没有任何影响呢？这也是一个涉及两项元素的抽象结构（如同前面的规律），但它们之间的关系有所不同。不会有什么东西被抵消掉，而是某些东西的持续堆砌没有产生任何效应。我们可以用下面的网格来描述这种现象：
这有点儿像显性基因和隐性基因互动的模式。这里的1就是“显性”，0就是“隐性”，因此，如果想要得到0的结果，相互作用的二者都必须是0，只要出现了一个1，那么结果就会变成1。
“容忍”与“显性/隐性”的模式是完全不同的两类结构，但是如果进行细致入微的观察，我们就可以把这类结构打包纳入自己知识储备的小行囊。