建立联系

听起来，抽象化是一个远离现实世界的过程，但实际上它是一个创造类比的过程，也就是寻找关联性的过程。我真的很喜欢在不同的事物之间寻找可能的关联。我喜欢把不同的人联系在一起，某个乐曲能让我联想到其他乐曲。我还经常发现某部电影的演员其实也出演过另一部电影，尤其是当他们在两部影片中的造型迥异时。比如，在BBC（美国广播公司）版本的《傲慢与偏见》中饰演宾利先生的克里斯宾·博纳姆-卡特，也出演过《大战皇家赌场》。我尤其喜欢识别不同场景的相似之处，并发现自己已经在另一个场景下经历过这件事，因此不需要一切从头开始。马普尔小姐就是利用这种方法在阿加莎·克里斯蒂的书中解开了谋杀谜团，我对此颇为认同。

然而，在现实生活中，我们更喜欢关注事物之间的差异。我们总是强调每个人都有不同的经历，不要用同样的眼光看待某个种族中的所有个体，或者不要假设所有的女性都有同样的投票倾向。我们不仅要看到某人隶属于一个受压迫的少数族裔，还要知道不同少数族裔受压迫的方式也不尽相同，尤其是在若干少数族裔混居的地区。这样做的目的就是要确保彰显每个人不同的特征和经历。

这样的态度固然重要，但同样重要的是，不要忽视人们彼此的关联性。实际上，我认为，如果想要打破男性白人群体对社会的把控，加强民众之间的联系是至关重要的。少数族裔被分化为越来越多各自为营的群体，如果他们不联合起来改变整个社会的权力结构，男性白人群体在社会中的地位就会被进一步巩固。如果彼此独立的少数族裔建立起强大的合作关系，他们就变成了多数族裔。

在数学领域，我们不会做这样的事，但我们要始终保持思维的灵活性：我们既留意事物之间的关联，又不放过它们之间的差异。而且我们不会坚守某个观点，而是从某个观点出发看看我们从中学到了什么，再从另一个观点出发看看我们又学到了什么。与不得不在僵化的规则世界里俯首称臣相比，这种“做数学”的方法完全是另一种感觉。

对事物的共性形成认同感只是一个起点，这让我们可以采用某种统一的方式研究各类不同的事物，就像我们第一次走进数字的世界一样。

我们还可以用图形来举例，某些在我们看起来并不相同的图形，其实只是大小的差异，比如下面这两个三角形：

在某些情况下，我们只能把所有方面完全一致的两个三角形视为相同。假如我们在做拼图游戏，那么只有恰好匹配的那个三角形才能派上用场，这种现象让我们产生了所谓的“全等”概念。

在另一种情况下，三角形的大小并不重要，例如我们只是想计算某个角的度数，或者缩放其比例以便进行研究。于是我们有了“相似三角形”的概念，它们像上面的两个三角形那样是彼此的缩放版本，关键在于，它们只是等比例缩放：三个角分别相等，三条边成比例。

还有一些情况，甚至三角形的形状都无关紧要，只要它是某种三角形就行。比如，我们制作了一个长方形相框，要想让它更加稳固，就需要在背面的每一个角钉上一个斜杠，使其形成一个三角形。具体什么形状的三角形并不重要。

这就是最初的“三角形”概念：一个由三条边和三个角组成的图形。

如果我们只是想知道某些三角形是否全等、相似、既不全等也不相似，那么对全等或相似三角形的研究似乎毫无意义，而且难掩没事找事的嫌疑。在我看来，更有趣的问题是，在什么情况下我们必须区分不同类型的三角形的“同一性”。甚至在某些情况下，我们会把更多的图形纳入三角形的范畴。在抽象数学的世界里，我们会接受三角形的一条或多条边长度为零的情形。更重要的是，这样的三角形不但被理论界接受，而且具有建筑学上的现实意义，它们被称为“退化三角形”。所以下方的图形其实也是三角形，尽管它们看起来更像一条线和一个点。这类颠覆性的见解让我有一种莫名的满足感。

第一个图形表示三角形的一条边长度为零。你可以想象下图中虚线的部分变得越来越短，直到其长度消失。

第二个图形表示三角形的三条边长度均为零，因此整个图形坍缩成一个点。

在我研究的范畴论领域，我们称有三条边的图形为“三角形”，无论它的边是直线还是曲线。因为在范畴论中，我们只关心事物之间的关系，图形仅代表一种抽象的关系。例如这样的关系：

与这样的关系其实并无差别：

下面两个图形都被视为“同样的”三角形：

听起来有点儿不可思议？但看到我下边描述的情形，你或许会感到自在一点儿。我在读研究生的时候，生活基本上被限制在宿舍、学校和数学系三点形成的三角形中。我虽然说“三角形”，但显然我在这三个地点之间是不能沿直线行走的，因为道路不允许。但它依然给人一种三角形的感觉，尽管实际情况是这样的：

这种寻找事物相同和不同的意义的过程，是所有数学的起点，也是帮助我们思考1+1等于或不等于2的重要途径。我们首先利用一些相当简单的东西，比如三角形，来练习这个过程，之后进入更复杂的领域。可惜的是，如果没有人给你解释练习的目的，简单就容易与毫无意义画上等号。一旦熟悉这个过程，我们就很容易识别出复杂情况下事物之间的联系，比如病毒的传播。

病毒类疾病以重复相乘的方式传播。其基本理论是，每个受感染者会传染一定数量的人。我们假设这个数字是3，那么这3个人每人会把病毒传染给3个人（平均），新感染的人就是3×3=9。这9个人每人再传染3个人，新感染的人就是3×9=27。在每个阶段，新感染的总人数都要乘以3。

和重复相加一样，重复相乘也是数学家进行抽象研究的主要课题之一。重复相乘带来了“指数”的概念，因此出现了这样一个问题：我们在日常生活中说某件事“呈指数级增长”，我们的意思或许是说它增长很快。但是在数学界，指数增长具有非常精确的定义，即以重复相乘的方式增长。虽然速度很快，但我们仍可以利用各种工具进行精确判断。这也是我们可以相对准确地预测出不同情况下病毒的传播速度的原因，尽管在初期数字较小时它的传播速度似乎很慢。指数的图形大致是这样的：

你可以看到，前期的曲线比较平坦，之后急速上升。研究抽象的指数概念让科学家可以在早期情况不那么糟糕时预见病毒暴发的情形，然而，那些不了解指数的人总觉得科学家是在杞人忧天。

这不禁让人联想到“病毒视频”。某个视频“走红”往往是一瞬间的事，这个过程可以被抽象化地模拟为病毒性疾病的传播，但方式不是“传染”，而是“分享”。每个人都分享一个视频，这会导致一定数量的朋友和粉丝随之分享。尽管平均分享的人数不算多，比如3个人，但如果这个过程被多次重复，在指数效应的驱动下，数量会变得极为庞大。只需要重复13次，视频的分享总量就能超过100万次。

指数现象还统治着某些看似不相干的领域，比如烹饪食材的内部温度。你可以买一个专业肉类温度计，它不但能测量锅中肉食的内部温度，还能把数据传送给一个计算机应用程序，然后预测还需要多长时间才能达到你所期望的内部温度。这个计算过程就需要运用指数的概念。放射性衰变也与指数有关，但与它重复相乘的是一个小于1的数字，因此它的数值会越来越小。

除了其指数传播的效果是否威胁人类生命，以上情况还存在另外一些差异。不管是病毒性疾病传播还是病毒视频传播都存在一个上限，也就是所有可传染（可传播）的人的数量。一旦有一定比例的人口受到传染（或者看过视频），即使不进行人工干预，传播速度也将放缓，因为剩下的人已经不多了。煮肉的情形与此不同，当然，如果你长时间放手不管，锅里的肉总会被炖烂、分解。指数增长总要受制于有限的资源，就像人口增长早晚会消耗掉所有的食物。受限于资源的指数增长模式远比单纯的指数增长模式复杂，最初研究这个问题的人是19世纪中期比利时数学家韦吕勒，他画了下面这样一张图：

前期看似典型的指数增长曲线在后期逐渐变平。

也就是说，数学在这些场景中的应用既包括探寻相似性，也包括识别差异性，这样我们才不会过度使用类推法。这样的方法还能帮助我们避免过分强调“正确答案”。我们在某些事情成立的诸多情境中找到了相似性，并利用这个结论探索为什么这些事情在特定的条件下会成立。这就是我们讨论1+1可能存在不同答案的方法。 ELrZHtHUzMJkBhldx9o9S7tVD6zEsIsejKPOrdqIAdooysImxgbMy0M9pG0PSTBj