2. 2 企业R＆D决策的动态分析

在之前的篇幅中，我们涉及了厂商研发竞争的简单情形，即厂商在静态的环境下进行决策。这里使用“静态”的字眼可能产生一定的误解，因为在之前所讨论的所有模型中，厂商的研发活动均会持续一定的时间，而并不是在一瞬间完成的。为消除这种误解，需要注意这里的“静态”描述的是企业的决策特点。在之前所涉及的分析框架中，厂商的行动均是由事前一次性决策所决定的。在最佳创新时点的分析中，厂商在事前即决定了创新完成的时间，而在最佳研发投入分析中，虽然Lee和Wilde（1980）的模型允许厂商在研发的每个时点上连续地支付研发投入，但该研发投入量是在事前由厂商的一次性决策所决定的。因此，之前的研究中，厂商的决策具有静态特征。

将静态分析拓展到动态分析，意味着需要允许厂商在研发的过程中不断地改变自己的决策。本部分的分析将讨论三种动态最优化下的研发问题。第一种情形剔除了研发过程中的风险，以便使分析更加简单；第二种情形则进一步引入了研发的技术风险和市场风险；第三种情形则进一步考虑到了研发过程中的暂时领先和赶超问题。

2. 2-1 无风险情形下的动态研发决策

在关于R＆D竞争的动态最优化分析中，Takeo Nakao（1982）的模型取消了关于技术研发不确定性的设定。这显然极大地简化了模型的计算和分析工作。在该模型中，厂商的R＆D结果表现为产品质量的提升，并且厂商提高产品质量的边际成本为固定常数。这一假定使厂商研发活动的设定回到了Scherer（1967）和Barzel（1968）等人的分析框架中：厂商的研发不存在风险，只要增加投入，产品的质量便一定会线性地递增。

为进一步构建动态分析框架，假设市场中有 n 个同质厂商。代表性厂商 i 面临的市场需求 Q ^t 是价格向量 P ^t 和产品质量 T ^t 的函数，这里， P ^t ＝ 其中 和 分别为第 t 时期厂商 i 的产品价格和产品质量。厂商的生产具有不变的边际成本 c 。在每一时点厂商都要决定最优技术净增量，因此厂商的决策具有动态性。令每时点企业技术投资量为 。简单起见，假设为此投资厂商所要付出的成本为 为不变的常数。如果技术的折旧率为 δ ，那么厂商每期技术存量的净改变量就可以表示为：

令 ，这样在时期 t ，厂商 i 的利润为：

在分析厂商的定价策略时，Takeo Nakao（1982）使用了联合利润最大化的假设。不过，在厂商同质假设下，这样的设定是不必要的，因为厂商缺少掠夺性定价的动机。同时，由于厂商数量是外生给定的，因而不会出现新厂商进入而使每个在位厂商仅获得正常利润的可能。实际上，不论厂商是否追求联合利润最大化，在厂商最优决策下，最优价格向量 中的分量一定可以表示为产品质量 T ^t 的函数，即 ，而厂商的产品销售收入则可以表示为： ^[1]

下面，厂商需要进一步决定各期最优的技术净增量水平，此时厂商面临的最优化问题为：

其中， r 为贴现率。该式中的 界定了厂商技术进步的成本。从模型形式上来看，它是产品质量提升量的线性函数。

为了求解的需要，需要将模型具体化。令：

上式中， 为厂商 i 的市场份额，它分别是厂商自身产品质量的增函数和产品价格的减函数。此外，总需求 Q ^t 被假定为具有柯布—道格拉斯函数的形式：

其中， 和 反映了市场平均价格和平均质量水平，并且 a ＞ 1， b ＜ 1。这一参数设定保证了 的凹性，从而保证动态最优化的二阶条件得以满足。最后，参照Schmalensee（1976）模型中对厂商市场份额的讨论，可以假设：

由该设定可知，如果所有厂商均采取相同的产品质量，那么每个厂商将获得 1 ／ n 的市场份额。由于各时点上厂商的价格决策是相互独立的，因此厂商只是动态地确定最优的产品质量。为求解此动态最优化问题，可以建立如下现值汉密尔顿函数：

由最大值原理可得最优化条件和 的运动方程：

最优性条件说明，在最优化下， 为常数，而这意味着均衡时 由此可以进一步得到：

根据前文所设定的市场需求函数，可以解得 的表达式。此外，均衡时，每个厂商将采用相同的策略。因此，由上式可以得出均衡时：

将上式两边进一步对 n 求偏导可得：

由于 b ＜ 1，因此 n ＞ 2 时，由上式可知 该结论的经济含义是很丰富的：厂商数量的减少增加了市场集中度，这提高了厂商提高产品质量的边际利润，进而使得厂商有动力进一步提高质量；此外，由于均衡下 从而 ，这意味着市场竞争程度的提高还会降低产品的平均质量水平。

Takeo Nakao（1980）的模型虽然排除了厂商研发的不确定性，但是在对厂商最优技术进步的分析上却有很大的灵活性，这主要是因为他将厂商的研发结果设定为产品质量的变化。这种设定的一个好处是，只要稍微改变一下对厂商研发行为的定义，便可以允许厂商在研发的目标技术上进行选择。例如，如果将产品质量的变化量看作一项技术，那么不同的产品质量变化幅度可以用来衡量技术含量不同的研发项目。此时，当厂商以更快的速度提高其产品质量时，我们便可以认为他正在研究更加复杂的技术。这种定义意味着，厂商不必再拘泥于某项特定技术进行研发，而是可以在每个时点上对其所要研发的技术进行选择。而在前文所介绍的其他文献中，一个明显的设定是厂商只能就某项特定的技术专利展开竞争。

2. 2-2 引入市场风险、技术风险和策略相关性

接下来，我们需要进一步将研发的各种风险引入动态分析框架。 Reinganum（1982）的研究为此提供了较好的范例。在定义厂商研发风险的基础上，Reinganum（1982）分析了连续时间情形下厂商最优R＆D投入与市场结构的关系。在模型的具体设定上，假定市场内存在个同质在位厂商。所有的厂商均认为，如果在 T 时刻后它还没有成功实现研发，那么就没有必要继续参与专利竞争。在区间［0， T ］内，如果厂商在 t 时点首先成功实现研发，那么它就将赢得专利并获得相应的贴现收益 P _L （ t ），而其他厂商则将获得贴现收益 P _F （ t ）。为了分析的简便，可以假定对于任意时刻 t ， P _L （ t ）和 P _F （ t ）均为固定常数 P _L 和 P _F 。

在时点 t 上，厂商用于进行研发的知识存量为 Z （ t ），而其变化率为 μ （ t ），即在时点 t 厂商的新增知识存量为 厂商获取知识的成本贴现值为 e － ^rt c _i （ μ _i ）。在下面的分析中，令 并有如下假设：

令 Z ＝ （ Z ₁ ，…， Z _n ），厂商 i （ i ＝ 1，…， n ）的策略空间为 Ω _{i ＝ ｛} μ _i （ t ， Z ） ，且对于所有可行的（ t ， Z ）， μ _i （ t ， Z ）是连续的，并满足下面的李普西兹（Lipchitz）条件：

其中， k （ t ）为利普西兹常数

该假设仅仅是一种技术上的需要。它意味着每个厂商每时点上用于增加知识存量的投资 μ _i （ t ， Z ）均属于一个封闭且有边界的空间，并且是连续可微的。这可以保证下文中动态最优化问题所决定的微分方程组的解存在且唯一。

知识存量 Z （ t ）决定了厂商成功实现技术进步的概率。对于厂商 i 而言，在时刻 t 前成功实现研发的概率被设定为：

而厂商在时刻 t 前未能完成研发时，其在下一时刻完成研发的条件概率则为：

给定其他厂商的研发策略，代表性厂商的收益面临两种可能的情况：（1）它是第一个成功实现研发的厂商；（2）有其他的厂商在其之前完成研发。同时需要注意的是，厂商将不会一直支付研发投入。只要有一个厂商（无论是其自身还是其他厂商）成功实现研发，那么所有的厂商都会停止研发。因此，代表性厂商 i 的支付函数为：

上式积分号中第一项表示厂商 i 首先完成研发时的收益，第二项则表示有任意一个其他厂商抢先实现研发时厂商 i 的收益，第三项则为研发成本，该成本仅在尚未有厂商成功实现研发时支付。对该式进行积分变换并定义如下值函数：

其中 为厂商 i 的最优策略。在动态最优化下，均衡解 必须满足如下贝尔曼方程：

而由 V ⁱ （ s ， Z （ s ））的定义式可知以上贝尔曼方程的横截条件为：

如果不考虑角点解，那么以上贝尔曼方程中最优化问题的必要条件为：

由该条件可以得出 关于 的表达式，将其代入贝尔曼方程可得：

接下来的工作就是为如上方程寻找一个符合条件的解。我们可以猜测上述偏微分方程的解具有如下形式：

将其代入化简后的贝尔曼方程可得：

b （ t ）和 a （ t ）必须满足以上条件以及贝尔曼方程的横截条件，由此可以得到如下微分方程组：

第一个微分方程是一个伯努力型微分方程，通过令 y （ t ） ＝ 1 ／ b （ t ）可将该方程转换为一个线性常微分方程，进而可以解得：

其中， m （ t ） ＝ （ P _L － P _F ）（ n －1） λ ² （ e ^rt － e ^rT ） ／ r 。

对于第二个微分方程，观察可知 a （ t ） ＝ P _L 是该方程的解。由以上求解结果可以得出均衡时的表达式，而由此可以进一步得出：

上式给出了代表性厂商最优知识增量的动态变化路径，该知识增量可以用来反映在特定时点上厂商研发投入的强度。由该式可知，如果专利保护是完全的（即 P _F ＝ 0），则有：

进而求导可知，在完全的专利保护下：

令 g （ m ） ＝ 1- exp（ m （ t ））（1- m ），易知 g （0）＝ 0，且 g′ （ m ） ＝ me ^m 。由于 t ＜ T 时， m ＜ 0，因而对于任意 t ＜ T ， g （ m ） ＞ 0。这说明在完全的专利保护下，在区间（0， T ）内始终有 。换言之，如果专利保护是完善的，那么市场竞争程度的提高会激励每个厂商增加研发投入。

在不完全专利保护下， P _L 和 P _F 的具体取值将取决于创新完成之后的寡头市场竞争的结果，因而这两种收益的取值都将取决于参与市场竞争的厂商数量，即 P _L ＝ P _L （ n ）， P _{F ＝} P _F （ n ）。此时，厂商数量的变动对每个企业研发积极性的影响将是不确定的。为了对此进行说明，首先注意到：

其中：

计算可得：

因此可以判断 h （ m ） ＞ 0， u （ m ） ＜ 0，从而 。

在不完全专利保护下，求导可知：

尽管有充足的理由可以判断 dP _L ／ dn ＜ 0， dP _F ／ dn ＜ 0，但由于 和 的符号相反，故在不完全的专利保护下，市场结构的变化对厂商研发动力的影响并不确定。

2. 2-3 研发过程中的领先与赶超

在之前的所有讨论中，厂商只需率先完成一项研发即可获取专利。由于这些研究并不关注研发的中间过程，这种设定意味着厂商参与专利竞争只可能有获胜和失败两种可能性。

但是，现实的研发过程中，厂商在专利竞争过程中可能处于不同的地位。有些厂商的研发进度可能更为顺利，从而处于暂时的领先地位；有些厂商虽然暂时处于落后地位，但仍有机会后来居上。这些现实问题在我们之前介绍的各种模型分析框架下都是无法讨论的。

为了使厂商在研发过程中能够暂时处于领先地位，可以假设专利的获取需要在完成多个阶段的研发之后才能实现。例如，Grossman和Shapirao（1987）将专利竞争划分为两个阶段。厂商为了获取某项专利，需要逐一完成两个阶段的研发任务。第一个研发阶段被称为阶段“0”，它是整个研发过程的中间阶段；第二个阶段被称为阶段“1”，率先完成该阶段研发后，厂商便可获得技术专利；厂商必须依次完成各研发阶段，而不可能直接跳过阶段“0”。在这种分析设定下，如果某些厂商提前完成了阶段 0 的研发，那么他们将处于研发的暂时领先地位。但是，由于阶段 1 的研发尚未完成，他们仍无法获得专利，并且在稍后的研发过程中，仍要面对被其他厂商赶超的风险。显然，这种分析设定使得厂商研发活动中的策略选择变得更加丰富。

简单起见，进一步假设市场中只存在两个同质厂商，并且技术专利将为厂商提供价值为 V 的市场收益。两个厂商在每个研发阶段都需要决定该阶段的研发成功概率 p ，为此，它们在相应研发阶段的每个时点上都需要根据其所选择的成功概率支付 c （ p ）单位的费用，这种研发费用的支付方式与Lee和Wilde（1980）的流量投入设定基本一致。为保证最优化问题有内点解，假设 c （0）＝ f ＞ 0，并且对于任意 p ＞ 0， c′ ＞ 0， c″ ＞ 0。

在研发风险上，我们也可以直接采用Lee和Wilde（1980）的设定。在此前提下，由前文的介绍可知（可以参见前文 2. 1-2-1 节），如果两个厂商均完成了阶段“0”的研发，那么在研发阶段“1”中，代表性厂商的期望利润为：

由上式可知，厂商在研发阶段“1”中选择的的最优概率需要满足如下一阶条件：

为了保证阶段“1”研发的期望利润为正，最优解 显然应该满足 V 。此外，上式也说明厂商具有向上倾斜的反应曲线。其原因在于，竞争对手研发投入的增加将降低 π ₁₁ ，从而使得厂商增加研发投入的期望边际收益上升。

下面，考虑有一个厂商率先完成阶段“0”的研发时的情形。此时，对于技术领先厂商而言，它的期望利润和研发成功概率标注分别标注为 π ₁₀ 和 p ₁₀ ，而落后厂商的期望利润和研发成功概率则分别为 π ₀₁ 和 p ₀₁ 。

对于技术领先厂商而言，它面临两种可能的情况。一种情形为技术领先者实现阶段“1”的研发时，落后厂商仍未完成过渡阶段“0”的研发；另一种情况则是技术落后厂商成功地实现了追赶，即在技术领先厂商完成阶段“1”研发之前实现了过渡阶段“0”的研发，此时，两个厂商将同时在阶段“1”进行竞争，相应的期望收益为 π ₁₁ 。因此，技术领先厂商的期望支付为：

而对于技术落后者，其期望利润则为：

根据以上两个利润函数，可以分别解得如下一阶条件：

最后，考虑两个厂商均处于研发阶段“0”的情况。此时，对于每个厂商而言都有两种可能出现的情况：成为技术领导者或者成为技术落后厂商。由于两个厂商均有相同的期望支付和策略（令其分别为 π ₀₀ 和 p ₀₀ ），因而求解可知：

而最优化的一阶条件为：

以上分析给出了各种情形下厂商的最优决策。这些一阶条件表明，相对于技术落后厂商，技术领先厂商总是倾向于在R＆D上进行更多的投入，并且，如果技术落后厂商成功实现了追赶，那么两个厂商都将加强他们在R＆D上的投入密度。

为对此进行说明，首先将 和 进行比较。回忆前文的叙述可知，对于技术领先厂商而言， 可以视为其对手同样完成了过渡阶段的研究时他的最优研发投入，而 则可以视为其对手尚未完成过渡阶段时他的最优研发投入。由 和 各自满足的一阶条件可以发现，由于 c″ ＞ 0，因而 要求 π ₁₁ ＜ π ₁₀ 。如果该情况不成立，而是出现相反的情形（即 则由 的一阶条件和 π ₁₀ 的表达式可知技术领先厂商的反应曲线向下倾斜。而这意味着，如果 为技术领先厂商对竞争对手 0研发投入水平（即 p ₀₁ ＝ 0）的最优反应，那么一定有 但是，如果竞争对手的研发投入水平真的为 0，那么则有：

因而 ，而这意味 ，而这与 矛盾。因此 的情况不可能出现，而是必须有 。这一结果表明如果某技术领先厂商的竞争对手成功实现了技术追赶（完成了过渡阶段的研究），那么所有厂商都将增加它在专利竞争中的研发投入。

下面，考虑 和 的比较 。由 和 的 一阶条件可知， 要求 V － π ₁₀ ＞ π ₁₁ － π ₀₁ 。将 π ₁₀ 和 π ₀₁ 的表达式代入该不等式可得：

下面，假设不是 ，而是 。由 c （·）的凸性可知，这意味着：

从而有：

由 π ₁₁ 的表达式可知 v ＞ 2 π ₁₁ ，因而如果以上不等式成立，则有 V － π ₁₀ ＞ π ₁₁ － π ₀₁ 。这就产生了矛盾，因为上式成立的前提是 ，而 V － π ₁₀ ＞ π ₁₁ － π ₀₁ >成立的前提是 。因此，只能是 的情形成立。这意味着技术领先厂商比落后厂商倾向于进行更多的研发投入。

[1] 下标－ i 表示除厂商 i 之外的其他厂商。 4q0RVZLcK6J8fdvx4V+V/hphBWcDMCK44IL4xZzlqs9E06E9NUSGPLsXNDqPT4oM