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研究企业R＆D决策的一个简单视角是假设厂商进行静态决策。在早期的静态分析中，对企业创新决策的讨论存在明显的界限。较早的研究关注的是企业对于创新时点的选择，而非企业的最佳R＆D投入。由于在这些分析中企业可以直接选择创新完成的时点，因此它们均暗含着企业创新不存在任何风险的假设。
引入研发风险后，企业便无法直接地控制创新结束的确切时点，而是只能通过调节研发投入来影响每个时点上成功赢得专利的概率。因此，随着研究的不断深入，当人们逐步认识到应当在模型中引入研发的一系列风险后，厂商的决策行为便转变为在特定的市场环境下选择最佳的R＆D投入。下文的叙述便是遵循这样的理论演变顺序而展开的。
2. 1-1-1 研发时间的选择
在早期的最佳创新时点研究中，Scherer（1967）正式界定了研发的成本函数与创新时间之间的关系，因此本小节的内容将以其模型的基本思想为基础。当企业持续地开展研发时，他在研发过程中的每个时点上都将支付一定的成本，而研发总成本则表现为各时点研发投入之和。因此，在其他条件不变时，企业可以通过缩短研发时间或者减少单位时点上的投入来降低研发成本。
然而，在Scherer（1967）看来，企业缩短研发时间通常会引起研发总成本的上升。这主要是因为：（1）技术研究有累计性效果。先前的研发投入以及获取的经验能够作为之后研究的平台。但这种累积性也意味着，随着研究的深入，犯错误的代价是逐渐递增的，因为它意味着一旦研发失败，则之前的相关努力在很大程度上是一种浪费；（2）技术研发可以采取逐一进行的方式开展，但这需要花费很长的时间。另一种方式是同时进行多种研发，但这增加了企业的成本，因为可能事后会发现有很多研究是没有必要进行的；（3）企业可以投入更多的人力物力到研发中去，但这受到边际收益递减规律的制约。
上述分析意味着，企业在创新过程中将面临权衡取舍：如果企业希望缩短研发时间，那么他可能必须承受更高的研发成本。因此，对企业研发过程中最优行为的描述便可以自然地归结为在特定的市场环境下，企业如何选择最佳的研发完成时间，而对此问题进行分析的基础则在于合理地界定研发成本与研发时间之间的函数关系。根据Scherer（1967）所提出的三点理由，研发成本将表现为研发时间的凸函数，即如果厂商的目标是研发质量为 Q 的产品，则研发的总成本 C 可以写为：
为了简单地展示企业最佳创新时点选择的基本分析框架，这里我们可以进一步地引入如下假设：（1）我们可以假设研发目标 Q 为固定不变的常数，并且所有厂商都以该质量水平为研究目标。这一假设的合理性在于，大幅度的质量改进在技术上可能很难实现，而细微的质量差异又难以被消费者感知；（2）不存在研发竞争中的时滞，即不考虑有一些厂商故意推迟研发，以便利用先行者经验外溢的可能；（3）不存在技术许可。
接下来，考虑两个同质的在位厂商。
其中，有一个厂商（令其为L）将率先成功实现某项新技术的研发，并成为技术进步的领导者；另一个厂商（令其为F）则可以通过技术模仿成为新技术的追随者。围绕新技术研发所展开的市场竞争则可能呈现出“市场份额”（Market Share）竞争和“新市场”（New Market）竞争两种不同的情形。
在市场份额竞争中，技术进步的领导厂商L通过引入新技术来抢夺其竞争对手F的市场份额，而这一过程由以下三种变化组成：首先，在领导厂商向市场投入新产品到追随厂商实现技术模仿这段时间里，领导厂商的新产品逐步被市场接受，从而逐渐挤占追随者的市场份额；其次，当追随者成功实现技术模仿后，它可以通过模仿出的新产品逐渐夺回一部分其失去的市场份额；最后，尽管技术模仿能够帮助追随者夺回一些市场份额，但通常他仍会永久地失去一部分市场份额，这可能是由于领导者抢先投入新产品而获得了品牌优势。因此，在市场份额竞争中，技术进步领导者L的收益可以定义为：
其中， V 为整个市场所能提供的收益， S F 为追随者原先的市场份额。在上式等号右边，第一项表示技术领导者在其领先时期内通过引入新产品而逐渐挤占对手市场份额（以 δ 的速度）所得的收益，第二项为由于追随者市场份额永久性下降（以 ε 的速度）而带给领先者的收益，第三项则为追随者通过技术模仿追回其原有市场份额（以 β 的速度）前领导者所得的收益。在“市场份额”竞争中，由于领导厂商的所得即为追随者的损失，因此追随厂商的收益恰好是－ V L 。
而在“新市场”竞争中，技术领导者的研发将开辟一个新的市场，而追随者则可以通过技术模仿来逐步参与新市场的竞争。因此，领导厂商的收益将由两部分构成：（1）在他开辟新市场后，由于产品逐渐推广所获得的市场收益；（2）由于追随者的技术模仿而逐渐失去的市场收益。“新市场”竞争中领导厂商的收益可以定义为：
上式等号右边第一项为在不存在其他竞争者时，领导厂商通过新技术逐步拓展新市场所得的收益；第二项则为追随厂商通过模仿而逐步获得其目标市场份额
所得到的收益，而这构成了领导厂商的损失。上式中，
表示追随厂商由于技术后进而永久失去一定市场份额的过程，
则反映了追随厂商的产品逐渐占领市场的过程。显然，模仿者的收益函数
为：
给定收益函数和成本函数，每个厂商都将在考虑对手可能的策略的前提下选择最佳的创新时间。如果所有厂商的决策均遵循“古诺”推测，则对于领导厂商而言，其在“市场份额”竞争中的最优选择
应满足：
而在“新市场”竞争中，领导厂商的最优选择
需要满足：
由于始终有
且
，因而由以上一阶条件可知，给定竞争对手的策略选择
，对于任意参数
将随参数
Z
的增加而增加。由此可知
时，
将下降；反之，则
会上升。
以上分析也可以拓展至存在多个追随厂商的情形。以“新市场”竞争为例，假设市场中存在（
N
－1）个追随厂商，并且每个追随者均采取对称的行动。如果每个追随厂商都具有相同的目标市场份额
，则此时对于领导厂商L而言有：
在上式基础上，求解领导厂商最佳创新时间选择问题可得如下一阶条件：
上式的等号左边反映了领导厂商减少创新时间的边际收益，等号右边则为相应的边际成本。由于（ N －1） ／ N 是 N 的增函数，因此上式意味着，给定竞争对手的策略 T F ，市场中厂商数量的增加（或者说，竞争程度的增加）将使得领导厂商倾向于更快地完成研发。
此外，通过对减少创新时间的边际收益进一步求导可得：
从上式可以看出，
是
N
的增函数。这意味着当市场竞争程度更高时，创新的领导厂商会对追随的加速研发行为做出更强烈的回应。
2. 1-1-2 一次性支付的研发成本
在前文的分析中，厂商被假定在研发的每个时点上都将支付一定的研发投入。但是，在某些情况下，新技术的应用可能只需要一定的初始固定投入。例如，Barzel（1968）讨论了一项创新应在何时被应用于实际生产。他指出，从技术研发到技术应用之间，往往可以区分为多个阶段。如果某个厂商已经通过研发获取了某项新技术的蓝图，那么他还需要进一步支付一定的费用来实现新技术向生产活动的转化。在这种情形下，由于新技术应用的费用是一次性支付的，因而企业技术进步的成本将与前文（2. 1）式所界定的成本函数存在显著差异。
首先，假设市场中只存在一个厂商。为应用新技术，他需要支付 I 单位的固定费用。一旦新技术在实际应用上是可行的，则每单位产品的生产成本将下降 h 个单位。如果在 t 时点上的市场需求为 X t ＝ X 0 e pt （其中 X 0 为初始需求水平），则在该时点上厂商从创新应用中获得的收益就为 hX t 。参数 p 则反映了市场发展状况。如果 p ＜ 0，则市场处于衰退状态；如果 p ＞ 0，则市场趋于繁荣。在这里的讨论中，我们只关心 0 ＜ p ＜ r 时的情形。其中， r 为贴现率。
厂商所需要考虑的问题在于在何时进行新技术的应用性投资。根据前文的设定，如果厂商在 t 时刻支付新技术的应用投资 I ，则他从中能获得的净收益为：
上式中， S 0 ＝ hX 0 。从上式可以看出，厂商调节新技术应用时点的成本主要来自于时间价值：如果厂商提前应用新技术，那么他可以更早地获取新技术所能带来的市场收益，而相应的代价则表现为更早支付投资 I 所形成的时间成本。显然，厂商最优的创新应用时点（令其为 t m ）需满足使 R 0 取得最大值的一阶条件，即：
该最优决策的经济含义在于，在边际量上，创新所带来的成本节约（ S 0 e － （ r － p ） t ）必须等于由于投资 I 所造成的机会成本（ rIe － rt ）。在 t m 时点之后，创新带来的边际收益将超过投资所造成的边际成本。
此外，如果在 t z 点上 R 0 ＝ 0，那么根据 R 0 的定义式（2. 2）计算可知：
由于 p ＜ 0，因而比较 t m 和 t z 可以判断 t z ＜ t m 。
假定市场中只存在一个厂商的目的并非是为了分析的简化，而是为了导出满足社会福利最大化要求的最优创新时间。由于创新过程被假定不会存在外溢效应，因而 t m 所代表的最优创新应用时点与社会福利最大化所要求的时点一致。通过将竞争状态下厂商最优的创新时点与 t m 进行比较，便可以判断出竞争对社会福利的影响。
可以预见，当市场中存在众多竞争者时， t m 就不再会是竞争下的均衡时点：由于首先应用专利可以获得所有的市场收益，当市场中存在竞争者时，每个厂商都会倾向于比对手先实现新技术的应用。这种趋势会一直持续到 t z 点，此时所有的厂商获得 0 收益，相应的社会福利也为 0。与社会福利最大化状态相比，竞争下创新发生的时点过早。相应的福利损失并非来自专利的模仿，而是竞争所导致的“非成熟性”创新。
2. 1-1-3 引入创新的市场风险
在前文介绍的创新时点模型中，厂商的创新没有任何风险。在Scherer（1967）提出的领导厂商和追随厂商的创新竞争中，每个厂商在事前就可以确定自己将会成为领导者或者追随者，而在Barzel（1968）提出的最优技术应用时点模型中，厂商在事前进行一次性的固定支付就一定能够获得相应的市场收益。
Kamien和Schwartz（1972）最早关注到创新活动中可能存在的风险。在他们的分析中，创新的风险并非来自技术方面的障碍，而是表现为竞争对手率先完成研发并抢先注册专利的威胁。在这种研发风险下，厂商的创新收益将表现为期望支付的形式。假定在 t 时点，给定竞争对手研发成功的时间 v 以及代表性厂商研发成功的时点 T ，则该厂商的支付情况如下：
其中，参数 g 反映了市场的变化状况： g ＞ 0 时市场处于扩张阶段。此外，通常情况下应该有 0 ＜ P 0 ，0⩽ P 1 ⩽ P 0 ，0⩽ P 2 ⩽ P 0 。这些支付的假定意味着市场中存在技术模仿的可能性。
为进一步描述研发的不确定性，假设代表性厂认为对其对手研发成功的时间将服从如下分布：
这一概率分布描述了厂商对其对手在研发和模仿两种不同情形下实现技术进步的主观判断。在该分布函数基础上计算可得：
上式实际上反映了竞争对手在 v 时刻之前还未研发成功时，其在下一时点研发成功的概率。
给定以上设定，我们便可以尝试着写出代表性厂商研发的期望收益。厂商在任意时点 t 均面临三种可能的情况：（1）在自身率先研发成功的前提下对手仍未成功（ T ⩽ t ＜ v ）；（2）自己先研发成功后，对手也已模仿成功（ T ＜ v ⩽ t ）；（3）对手先研发成功（ v ＜ T ⩽ t ）。结合这三种情况可知代表性厂商研发的期望收益 W （ T ）为：
在研发成本上，Kamien和Schwartz（1972）采用了与Barzel（1968）相类似的设定，即他们同样假定研发完成需要的总投入为某固定常数 A 。稍显不同的地方是，Kamien和Schwartz允许厂商在一段时间内完成这一投入，而不必进行一次性支付。令每个时点上厂商的投入为 m （ t ），而相应时点上投入在研发中所起的累加效果为 z （ t ），且 z′ ＝ ［ m （ t ）］ α ，则厂商研发的成本函数 C （ T ）为：
其边界条件为 z （0）＝ 0， z （ T ） ＝ A 。运用动态最优化方法求解可得：
其中， n ＝ a ／ （1- a ）。
由此，我们便完成了对厂商创新的收益函数和成本函数的界定。从中可以看出，它们均为 T 的函数，而厂商需要就此选择一个最大化其利润的创新时间。从收益函数和成本函数的形态可以发现，如果其他厂商的决策不变，则较早地实现创新可以提高厂商创新的期望收益，因为此时它有更高的概率首先完成研发。但是，较早地创新意味着厂商必须增加每一期的研发投入，以便尽早地使总投入累积到 A 的水平。由于 0 ＜ a ＜ 1，这一过程受到边际报酬递减的限制。因此，厂商选择最优创新时点实际上是在增加期望收益和控制研发成本之间进行权衡，相应的一阶条件为：
为确定福利分析的比较基准，可以假设所有厂商以联合利润最大化为目标。在卡特尔下，由于所有厂商进行联合行动，因此不存在研发收益上的不确定性和技术模仿所造成的浪费，并且 P 0 ＝ P 1 ＝ P 2 。如果此时创新的最佳实现时间为 T s ，则 T s 满足：
显然， T ∗ 与 T s 的比较并没有确定性的结论，具体的结果将取决于各参数的取值。因此竞争对于创新所引致的社会福利的影响是不确定的。
将以上模型加以限定，则可以用来分析Barzel（1968）所讨论的情形。由前文的叙述可知，在Barzel（1968）所讨论的情形中，厂商一旦应用新技术便可以获得所有的创新收益，因而也就意味着不存在其他厂商通过模仿获益的可能；此外，在那里的分析中，厂商的研发成本为投资的时间成本。在这里的分析中，对此情形的描述可以通过令 P 0 ＝ P 1 ， P 2 ＝ 0 且 C （ T ） ＝ e － rT I （ I 为固定常数）来实现。此时，在 r ＞ g ＞ h 的前提下可以解得：
如果 T b 代表 0 利润时点，则 T b 满足：
r ＞ g ＞ h 时，由于 r ＞ r － g ＋ h ， g － h ＜ g ，因而可以判断 T ∗ ＞ T b 。这一点与Barzel（1968）的分析结论有所不同：尽管竞争使得均衡下地创新时点小于卡特尔解，但该均衡时点总是大于 0 利润点，即竞争不会使社会福利为 0。当然，如果 h ＞ g ，则每个厂商都会认为对手的研发投入很密集。此时，最优化的二阶条件不能满足，厂商将选择角点解 T ∗ ＝ ∞ ，即放弃研发。
2. 1-2-1 引入研发的技术风险
前文介绍的Kamien和Schwartz（1972）的研究考察了研发过程中的市场风险，即竞争对手可能抢先完成研发并获取专利。但是，在他们的研究中，厂商仍然可以选择创新完成的时间，这意味着创新的进展程度完全在厂商的控制之下。但是，Loury（1979）指出，现实中的技术研发本身就具有失败的可能，因此厂商的创新还面临技术上的风险。他的研究较为完整地界定了厂商研发过程中的风险：（1）技术风险，即研发不一定总能成功；（2）专利竞争中来自市场竞争的风险，即由于竞争对手的存在，每个厂商都不能确定自己能否成为第一个成功实现研发的厂商。技术风险的引入意味着研发时点不应继续作为厂商的决策变量，因为既然研发随时可能失败，厂商就无法确定何时能够实现预定的研发目标。因此，在Loury（1979）界定研发的技术风险之后，专利竞赛方面的研究开始转而讨论厂商的最优研发投入。
在具体的模型设定上，考虑 n 个同质厂商对一个存在确定且持续的市场收益 V 展开竞争的情形。厂商的竞争手段在于抢先获取某特定的技术专利。第一个研发成功的厂商将获得该项专利，并取得全部的市场收益。
为了进行技术研发，代表性厂商 i 需要在研发开始前一次性支付研发投入 x i 。该研发投入将决定厂商研发成功的时间 τ （ x i ）。由于研发中的技术风险， τ （ x i ）被假设服从以下分布：
由此概率分布可以计算出下面的条件概率：
该条件概率给出了厂商 i 在时刻 t 没有成功实现研发时，他在下一个时点时能够完成研发的可能性。以上设定意味着通过在研发开始时选择一个一次性支付的研发投入，厂商在之后研发的任意一个时点上研发成功的条件概率均为 h （ x i ）。 h （ x i ）被假定满足：
技术的不确定性进一步决定了专利竞争的市场不确定性——由于厂商无法确定何时能研发成功，因而在研发中的每个时点上，竞争对手都有可能抢先赢得专利。为了对此进行说明，定义
为厂商
i
所估计的其所有竞争对手首先完成研发所花费的最短时间，即：
假定研发过程不存在知识外溢，则各厂商将独立地面对技术风险，因此计算可得：
厂商的最优化问题是选择最优的研发投入来最大化其期望利润，而给定如上研发概率分布（及相应的密度函数），厂商的期望收益可以表示为：
因而厂商的利润最大化问题可以表示为：
由于厂商被假定为同质的，因而在均衡时它们将采取相同的策略。求解可知代表性厂商的反应函数
满足：
从该反应函数计算可得：
使用（2. 4）式可以将上式变换为：
由于厂商是同质的，因而均衡时所有厂商均采用相同的策略。此时，
。由上式可知，当
n
⩾2 时，等式右边为正。而由于
h′
＞0，
h″
＜ 0，等式左边
的系数为负。因此
n
⩾2
时，
，并且厂商的最优策略为
。由此进一步求导可得：
由于
n
⩾2 时，
，因此
n
⩾2 时，
。这一结论表明厂商的最优R＆D投入与市场竞争程度成反比。
在福利分析方面，很容易证明厂商利润最大化的R＆D投入要超过社会最优水平。单个厂商的利润函数可以表示为 π （（ n －1） h （ x ）， x ）。厂商的利润最大化问题可以表示为：
而社会福利最大化问题则为：
由于
且二阶条件要求
，因此对比以上两个一阶条件可知，如果
为社会福利最大化时厂商的最优研发投入，则一定有
。
在以上分析中，企业的研发投入表现为研发开始之前的一次性支付。这种研发投入本身具有固定成本的性质，并且一旦支付便会完全沉没。因此，一旦竞争程度上升，厂商便会因为研发期望收益的下降而倾向于削减研发投入。
Lee和Wilde（1980）认为，现实中厂商研发费用往往不是一次性支付的，而是在研发过程中逐步投入。这意味着厂商可以根据专利竞赛开展的程度调整自己的研发成本。例如，当其他竞争对手率先实现研发时，厂商即可以终止研发，以避免进一步的损失。
为体现研发投入的流量性质，可对前文的模型进行重新设定。具体而言，假设厂商的研发投入分为事前的固定成本
F
和研发过程中每个时点上的投入
x
。代表性厂商将一直支付投入
x
，直到市场中有某个厂商率先完成研发。
因此，厂商参与专利竞争的期望成本为：
由于这里的分析没有改变对厂商研发期望收益的设定，因此在（2. 3）式期望收益的表达式基础上求解厂商的利润最大化问题可得如下一阶条件：
由以上一阶条件计算可得，对于代表性厂商的反应函数
有：
均衡时的期望利润则为：
由上式可知，期望利润非负要求
h
＞
xh′
，而由一阶条件可知，这意味着
Vh′
＞ 1，因此可以进一步判断
而与前文的分析一样，均衡时厂商的最优研发投入
x
∗
为
，由此进一步求导可得：
由于
，故由上式可判断当
时，
。这意味着在特定条件下，厂商的研发努力与市场竞争程度正相关。这一结论显然与Loury（1979）的研究结果相反。造成这种结论差异的根据原因即在于厂商研发投入方式上的不同。在Loury（1979）的研究中，厂商的研发投入是事前一次性支付的，从而竞争程度的增加只会减少厂商的期望收益；而在Lee和Wilde（1980）的研究中，厂商的研发投入则是连续支付的，因此竞争程度的增加不仅减少了厂商研发的期望支付，也倾向于降低厂商的研发投入——在高强度的竞争下，专利更有可能较早地被研发出来，因此厂商预期需要支付研发投入的时间也随之缩短。
与前文分析相类似，我们还可以比较厂商最优的研发投入和联合利润最大化情形下厂商的最优研发投入。在联合利润最大化情形下，厂商的最优化问题的一阶条件为：
令该一阶条件的解为 x m 。接下来，考察厂商个体利润最大化问题。在投入水平 x m 上，计算可知对单个厂商的利润求导有：
由联合利润最大化的一阶条件可知，上式可以化简为：
由于 π 被假设为 x 的凹函数，因此上式意味着对于厂商自身利益最大化而言， x ∗ ＞ x m 。这说明，市场中的竞争倾向于创造过度的研发投入。造成这一点的内在经济机制在于研发竞争中厂商之间互相施加的外部性。从社会福利（或者说，厂商联合利润）的角度来看，重要的是能够保证专利技术研发成功的可能性，至于厂商个体是否能够获得创新收益则不重要。但从厂商个体决策来看，研发获利的唯一前提是赢得专利竞争，而每个厂商提高研发成功概率的努力都会为其他厂商赢得竞争施加负的外部性，由此便使得厂商个体决策下的最优研发投入超过社会最优水平。
