3.验证物体表面的图的仅需色数定理的证明方法

前文已求得“物体表面的图的仅需色数定理： L ＝ 的 n ＝ S ”。那么，以现实的图来说，该如何验证“物体表面的图的仅需色数定理”呢？下文就这一问题作出解答，并着重于对平（球）体表面的图的仅需色数（即四色猜想）进行验证证明。

3.1 验证“仅需色数定理”的原则依据

事实证明，验证“ L ＝ 的 n ＝ S ”这一定理，应遵循两条原则。

原则 1 遵循“何去何从”的原则。就是根据分划法求证结果和数学的组合原理，以该物体表面分划到第几步第几个面求证到全相邻力时（即出现“不相邻的两个面”时）的第几步的“几”为仅需色数，并设定为“仅需色数命题”，以第几个面的“几”为 m ，将“仅需色数命题”设定为从 N 个元素中任意取出 m 个元素为一个组合的整体（即 组合模式），并作为被验证体。无疑，在 组合模式中，相对于由 N 个元素（即面）组成的图来说，不论其面与面之间的关系如何，其任意取出 m 个元素的组合则是穷举的。

原则 2 以事实为依据的原则。即以现实中的图的 组合模式不相邻的 2个元素（即面）为验证依据，对命题的 组合模式中每一个组合进行验证。无疑，在图的 组合模式中，不论是表达面与面之间的“两两相邻关系”，还是表达面与面之间的“两两非相邻关系”，都是可穷举的。

3.2 验证“仅需色数定理”的方法

以现实中的图的 组合模式不相邻的 2 个元素（即面）为验证依据，对命题的 组合模式中每一个组合进行验证。显然，以仅需色数命题设定的 组合模式中每一个组合均为一个 组合， m 个元素则需 m 种色区分，如 组合模式中每一个组合的 m 个元素（即面）都存在不相邻的 2 个（或 2 个以上）元素，则表明每一个组合的 m 个元素均有 2 个（或 2 个以上）元素可着同 1 色，那么“ m - ≤ n （色）”，每一个组合的 m 个元素均仅需≤ n 色区分，从而证明 n 色区分成立；如 组合模式中有一个（或多个）组合不存在不相邻的面，那么表明此个组合需 m 色区分，因 m ＞ n （色），从而证明 n 色区分不成立。

现对平（球）体表面的图的仅需色数（即四色猜想）进行验证证明。

3.3 验证平（球）体表面的图的仅需色数

第一步 将四色猜想命题设定为 组合模式并作为被验证体

前文应用分划法求证结果告诉我们，平（球）体表面是在被分划到第四步 5个面时，求证到该物体表面的全相邻力的。这个证明结果表明，展现在平（球）体表面的图中的任何“5 个面”必定存在不相邻的 2 个面。据此，将平（球）体表面的图的仅需色数设定为四色猜想命题，并将这个命题设定为一个从 N 个元素中任意取出 5 个元素为一个组合的整体，即 组合模式（见图16）。

无疑，在 组合模式中，相对于由 N 个元素（即面）组成的图来说，不论其面与面之间的关系如何，其任意取出 5 个元素的组合则是穷举的。如由 5个面组成的图，仅有“12345”一个组合；由 6 个面组成的图，共有“12345，12346，12356，12456，13456，23456”6 个组合；由 7 个面组成的图共有 21个组合（详见图 16）。

第二步 以现实中的图的 组合模式为验证依据

例证 1

图 17 是由 5 个面组成的图。从图16 的 组合模式中知道，由 5 个面组成的图仅有“12345”一个组合。从图17 的 组合模式中看出，图 17 的 5个面中只存在 3 与 5 两个面不相邻。由此可见，图 17 的 5 个面中 3 与 5 两个面不相邻，可着同 1 色。验证结果，图 17 的“12345”5 个元素（即 5 个面）仅需 4 色区分，其四色区分成立。

例证 2

图 18 是由 6 个面组成的图。从图16 的 组合模式中知道，由 6 个面组成的图共有 6 个组合（略）。从图 18的 组合模式中看出，图 18 的 6 个面中存在 3 对不相邻的两个面：2 与4，2 与 5，3 与 5。

现对图 18 的 6 个组合的 5 个元素予以验证：

“12345”“23456”2 组 5 个元素均存在“2 与 4、2 与 5、3 与 5”3 对不相邻的两个面，均仅需 3 色区分；

“12346”5 个元素只存在“2 与 4”1 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“12356”5 个元素存在“2 与 5、3 与 5”2 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“12456”5 个元素存在“2 与 4、2 与 5”2 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“13456”5 个元素只存在“3 与 5”1 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分。

验证结果，图 18 的 组合模式中共有 6 个组合，其每个组合的 5 个元素至少存在1 对不相邻的两个面，均仅需≤4 色区分，图18 的6 个面仅需4 色区分，其四色区分成立。

例证 3

图 19 是由 7 个面组成的图。从图 16的 组合模式中知道，由 7 个面组成的图共有 21 个组合（略）。从图 19 的 组合模式中看出，图 19 的 7 个面中存在 6 对不相邻的两个面：1 与 5，2 与 6，3 与 5，3 与 6，3 与 7，4 与 7。

现对图 19 的 21 个组合的 5 个元素进行验证：

“12345”5 个元素存在“1 与 5、3 与 5”2 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“12346”5 个元素存在“2 与 6、3 与 6”2 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“12347”5 个元素存在“3 与 7、4 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 4 色区分；

“12356”5 个元素存在“1 与 5、3 与 5、3 与 6”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12357”5 个元素存在“1 与 5、3 与 5、3 与 7”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12367”5 个元素存在“2 与 6、3 与 6、3 与 7”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12456”5 个元素存在“1 与 5、2 与 6”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12457”5 个元素存在“1 与 5、4 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12467”5 个元素存在“2 与 6、4 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“12567”5 个元素存在“1 与 5、2 与 6”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“13456”5 个元素存在“1 与 5、3 与 6”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“13457”5 个元素存在“1 与 5、3 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“13467”5 个元素存在“3 与 6、3 与 7、4 与 7”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“13567”5 个元素存在“1 与 5、3 与 5、3 与 6、3 与 7”4 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“14567”5 个元素存在“1 与 5、4 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“23456”5 个元素存在“2 与 6、3 与 5、3 与 6”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“23457”5 个元素存在“3 与 5、3 与 7、4 与 7”3 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“23467”5 个元素存在“2 与 6、3 与 6、3 与 7、4 与 7”4 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“23567”5 个元素存在“2 与 6、3 与 5、3 与 6、3 与 7”4 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“24567”5 个元素存在“2 与 6、4 与 7”2 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分；

“34567”5 个元素存在“3 与 5、3 与 6、3 与 7、4 与 7”4 对不相邻的两个面，仅需 3 色区分。

验证结果，图 19 的 组合模式中共有 21 个组合，其每个组合的 5 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤4 色区分，图 4 的 7 个面仅需 4 色区分，其四色区分成立。

综图 17 至图 19 的证明，由 5 个面组成的图，其 组合模式中仅有 1 个组合，其 1 个组合的 5 个元素存在 1 对不相邻的两个面，其 5 个面仅需 4 色区分，其四色区分成立；由 6 个面组成的图，其 组合模式中共有 6 个组合，其每一个组合的 5 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤4 色区分，其 6 个面仅需 4 色区分，其四色区分成立；由 7 个面组成的图，其 组合模式中共有 21 个组合，其每一个组合的 5 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤4 色区分，其 7 个面仅需 4 色区分，其四色区分成立。

依照归纳法，得出结论：平（球）体表面的图，不论其面的数量是多少，其 组合模式中每一个组合的 5 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤4 色区分，其 N 个面仅需 4 色区分，因此，四色猜想成立。此证。

同样，应用分划法求证结果表明，环体表面是在被分划到第五步、6 个面时求证到该物体表面的全相邻力的，亦即展现在环体表面的图中的任何“6 个面”必定存在不相邻的 2 个面。据此，将环体表面的图的仅需色数设定为五色猜想命题，并将此命题设定为一个从 N 个元素中任意取出 6 个元素为一个组合的整体（即 组合模式），然后以现实中的图的 组合模式中“不相邻的两个面”为依据，对命题的 组合模式中每一个组合的 6 个元素进行验证。验证结果：环体表面的图，不论其面的数量是多少，其 组合模式中每一个组合的 6 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤5 色区分，其 N 个面仅需 5 色区分，因此，五色猜想成立。

同样，应用分划法求证结果表明，丁环体表面是在被分划到第六步、7 个面时求证到该物体表面的全相邻力的，亦即展现在丁环体表面的图中的任何“7 个面”必定存在不相邻的 2 个面。据此，将丁环体表面的图的仅需色数设定为六色猜想命题，并将此命题设定为一个从 N 个元素中任意取出 7 个元素为一个组合的整体（即 组合模式），然后以现实中的图的 组合模式中“不相邻的两个面”为依据，对命题的 组合模式中每一个组合的 7 个元素进行验证。验证结果：丁环体表面的图，不论其面的数量是多少，其 组合模式中每一个组合的 7 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤6 色区分，其 N 个面仅需 6 色区分，因此，六色猜想成立。

同样，应用分划法求证结果表明，8 字连环体表面是在被分划到第七步、8 个面时求证到该物体表面的全相邻力的，亦即展现在 8 字连环体表面的图中的任何“8 个面”必定存在不相邻的 2 个面。据此，将 8 字连环体表面的图的仅需色数设定为七色猜想命题，并将此命题设定为一个从 N 个元素中任意取出 8 个元素为一个组合的整体（即 组合模式），然后以现实中的图的 组合模式中“不相邻的两个面”为依据，对命题的 组合模式中每一个组合的8 个元素进行验证。验证结果：8 字连环体表面的图，不论其面的数量是多少，其 组合模式中每一个组合的 8 个元素至少存在 1 对不相邻的两个面，均仅需≤7 色区分，其 N 个面仅需 7 色区分，因此，七色猜想成立。

3.3 需说清楚的几个问题

其一、关于 组合与 组合相通关系的问题。

图 20 是表达 组合与 组合相通关系的图表。此图表表达了 4 个意思，（1） 组合与 组合，两者组合数虽不等同，但两者作为组合的整体，两者的组合元素、区分元素均是等同的。从该图表看出， 组合的整体，其组合元素、区分元素是 3，同样， 组合的整体，其组合元素、区分元素也是 3； 组合的整体，其组合元素、区分元素是 4，同样， 组合的整体，其组合元素、区分元素也是 4； 组合的整体，其组合元素、区分元素是 5，同样，由 组合的整体，其组合元素、区分元素也是 5，其余依此类推。（2）正因为 组合与 组合两者关系相通，所以，就表达整体的组合元素、区分元素而言， 组合可转换为 组合。（3）在以 n 色猜想命题设定的 组合模式中， 组合与 组合也是相通的。 组合模式中的每一个 组合均是一个由若干 组合的“小整体”。（4）在 组合的“小整体”中， 组合表达的不论是 m 个元素彼此之间的相邻关系还是非相邻关系都是可穷举的。

其三，四色猜想命题的破解，实际上是对“四色”这个“仅需色数”作出证明，并非是对在“四色”的前提下图的各面如何着色使之成立的证明。而笔者看到的有关四色猜想命题的证明，都属于后者此类的证明。在研究四色猜想命题上，人们不仅未能走出“面的数量”这个“怪圈”，而且也未能跳出“如何着色”这个“误区”。 jcpTA2Nd2jMXU4QkZA2iZegMUEXEn7th1AVRiPNbX1YVGYslsmZudPOA8Qvslnt7