2.物体表面的图的仅需色数的定理

2.1 图的仅需色数与图的相邻面的组合力有着密切联系

定义 7 图的相邻面的组合力 是指图此整体中相邻面之间形成的组合能力，它是以有几个相邻面彼此之间均具有组合关系为衡量标准。以 表示（称为“小组合”）。

本人的研究结果表明，图的相邻面的组合力与图的色数（以色字汉语拼音的第一个字母“ S ”表示）具有等于关系。

例证 1

如图 6 所示，面数 3 个，图的相邻面的组合力为 ，图的色数为 2。现将图 3 增加 1 个面，如图 7 所示。从图 7 看出，面数 4 个，但图的相邻面的组合力没因面数增加而提升，仍为 ，图的色数仍为 2。可见，面数对图的色数不起决定性作用。

例证 2

现将图 6 的 3 个面的相邻情况作改动，使原来不相邻的“1”与“3”两个面相邻，如图 8 所示。从图 8 看出，面数 3 个没变，但图的相邻面的组合力由 提升为 ，图的色数也随之由 2 上升为 3。可见，图的相邻面的组合力对图的色数起着决定性作用。

例证 3

现将图 7 的 4 个面的相邻情况作改动，使其 4 个面彼此之间均相邻，如图9 所示。从图 9 看出，面数 4 个没变，但图的相邻面的组合力由 提升为 ，图的色数也随之由 2 上升为 4。可见，图的相邻面的组合力对图的色数起着决定性作用。

综图 6 至图 9 的证明，得出结论：图的相邻面的组合力与图的色数有着密切联系，前者对后者起着决定性作用，后者的增加有赖于前者的提升。

又，已知图 6 和图 7 两个图的相邻面的组合力为 ， 的 n ＝2，色数为 S ＝2，可见， 的 n ＝ S ；

图 8 的相邻面的组合力为 ， 的 n ＝3，色数为 S ＝3，可见， 的 n ＝ S ；

图 9 的相邻面的组合力为 ， 的 n ＝4，色数为 S ＝4，可见， 的 n ＝ S 。

依照归纳法，得

图的相邻面的组合力与图的色数有着等于关系，定理为： 的 n ＝ S

2.2 物体表面的全相邻力与图的相邻面的组合力与图的仅需色数

定义 8 物体表面的全相邻力 是指物体表面最多只能做到使“几个面”彼此之间均为相邻的能力（以力字汉语拼音的第一个字母“ L ”来表示）。它是制约图的相邻面的组合力的因素。求得此能力的方法是分划法。

定义 9 分划法 是应用图的形成原理，将物体表面作为完整的“面”有意识地一步一步地分划为若干个面，从中求得物体表面的全相邻力的方法。所谓“有意识”，是指要遵循被新分划出来的面尽可能做到与前有的各面都具有相邻关系的原则。当出现有非相邻面时，分划即为终止。

图的需用色数受图的相邻面的组合力制约，而图的相邻面的组合力则受物体表面的全相邻力制约。

从图 10 看出，当图例 1 其 2 个面相邻，则其相邻面的组合力为 ，需 2色区分，即全相邻面面数为 2，则 C 的 n ＝2， S ＝2。可见，三者是等于关系。

当图例 2 其 3 个面全相邻，则相邻面的组合力为 ，需 3 色区分，即全相邻面面数为 3，则 的 n ＝3， S ＝3。可见，三者是等于关系；

当图例 3 其 4 个面全相邻，则相邻面的组合力为 ，需 4 色区分，即全相邻面面数为 4，则 的 n ＝4， S ＝ 4。可见，三者是等于关系。

依照归纳法，得出结论：图的全相邻面的数量与图的相邻面的组合力与图的色数三者具有等于关系。又依照逻辑推断：一个物体表面的图如需 5 色区分，其相邻面的组合力要做到 ，则物体表面的全相邻力须做到使“5 个面”全相邻。

那么，平体表面的全相邻力能做到使“几个面”全相邻呢，现应用分划法求证。

2.3 平体表面的全相邻力及图的相邻面的组合力的极限数

先将平体表面作为一个完整的“面”，如图 11。然后应用分划法对这个完整的“面”进行分划，见图 12。

从图 12 看出，当平体表面被分划为 2 个面时，2 个面相邻，相邻面的组合力为 C ；

当被分划为 3 个面时，3 个面全相邻，相邻面的组合力为 ；

当被分划为 4 个面时，4 个面全相邻，相邻面的组合力为 ；

当分划到第四步被分划为 5 个面时，不能做到 5 个面全相邻，出现了“3”与“5”两个面非相邻，相邻面的组合力仍为 。至此，遵循分划法原则，分划求证终止。因为，不论你如何变换此 5 个面之间的相邻关系，都必有不相邻的 2 个面，无法做到使 5个面全相邻，图的相邻面的组合力不能做到 组合。

求证结果：平体表面的全相邻力最多只能做到使“4 个面”全相邻，其图的相邻面的组合力的极限数为 。因此，平体表面的图，不论其面数是多少，仅需 4 色就足以将其各面区分开。所以，四色猜想命题成立。此证。

2.4 球体、正方体、圆柱体、锥体表面的全相邻力及图的相邻面的组合力的极限数

经应用分划法对球体、正方体、圆柱体、锥体表面进行分划（因分划过程作图繁杂，作图略），当分划到第三步、4 个面时，可做到 4 个面全相邻，相邻面的组合力为 ；当分划到第四步、5 个面时，与平体表面一样，必有不相邻的 2 个面，不能做到使 5 个面全相邻，图的相邻面的组合力不能做到 组合。

求证结果：球体、正方体、圆柱体、锥体表面的全相邻力最多只能做到使“4 个面”全相邻，其图的相邻面的组合力的极限数为 。因此，这些物体表面的图，不论其面数是多少，仅需 4 色就足以将其各面区分开。所以，就球体、正方体、圆柱体、锥体表面的图的着色区分而言，四色猜想命题成立。此证。

2.5 环体（即轮胎体）、石锁体、方框体等物体表面的全相邻力及图的相邻面的组合力的极限数

经应用分划法对环体（见图 13）、石锁体、方框体表面进行分划（因分划过程作图繁杂，作图略），当分划到第四步、5 个面时，可做到 5 个面全相邻，相邻面的组合力为 ；当分划到第五步、6 个面时，必有不相邻的 2 个面，不能做到使 6个面全相邻，图的相邻面的组合力不能做到 组合。

求证结果：环体、石锁体、方框体表面的全相邻力最多只能做到使“5 个面”全相邻，其图的相邻面的组合力的极限数为 。因此，环体、石锁体、方框体表面的图，不论其面数是多少，仅需 5 色就足以将其各面区分开。所以，就环体、石锁体、方框体表面的图的着色区分而言，五色猜想命题成立。此证。

2.6 丁环体表面的全相邻力及图的相邻面的组合力的极限数

本人所说的实物丁环体如图 14 所示。经应用分划法对丁环体表面进行分划（因分划过程难以在平体表面作图展现出来，故作图略），分划到第五步、6 个面时，可做到 6 个面全相邻，图的相邻面的组合力为 ；但当分划到第六步、7 个面时，必有不相邻的 2 个面，不能做到使 7 个面全相邻，其图的相邻面的组合力不能做到 组合。

求证结果：丁环体表面的全相邻力最多只能做到使“6 个面”全相邻，其图的相邻面的组合力的极限数为 。因此，丁环体表面的图，不论其面数是多少，仅需 6色就足以将其各面区分开。所以，就丁环体表面的图的着色区分而言，六色猜想命题成立。此证。

2.7 8 字连环体表面的全相邻力及图的相邻面的组合力的极限数

本人所说的实物 8 字连环体如图 15 所示。经应用分划法对 8 字连环体表面进行分划（因分划过程难以在平体表面作图展现出来，故作图略），分划到第六步、7 个面时，可做到 7 个面全相邻，图的相邻面的组合力为 ；但当分划到第七步、8个面时，必有不相邻的 2 个面，不能做使 8 个面全相邻，图的相邻面的组合力不能做到 组合。

求证结果：8 字连环体表面的全相邻力最多只能做到使“7 个面”之间全相邻；其图的相邻面的组合力的极限数为 。因此，8 字连环体表面的图，不论其面数是多少，仅需 7 色就足以将其各面区分开。所以，就 8 字连环体表面的图的着色区分而言，七色猜想命题成立。此证。

综上证明，得出结论：平体与球体、正方体、圆柱体、锥体，环体与石锁体、方框体，之所以其图的仅需色数相同，是在于其图的相邻面的组合力的极限数相同；而其图的相邻面组合力的极限数相同，又在于物体表面的全相邻力相同。平体、环体、丁环体、8 字连环体，之所以其仅需色数不同，是在于其图的相邻面的组合力的极限数不同；而其图的相邻面组合力的极限数不同，又在于物体表面的全相邻力不同。

又，已知

平体、球体、正方体、圆柱体、锥体表面的全相邻力为 L ＝4；图的相邻面的组合力的极限数为 ， 的 n ＝4；图的仅需色数为 S ＝4。可见， L ＝ 的 n ＝ S 。

环体、石锁体、方框体表面的全相邻力为 L ＝5；图的相邻面的组合力的极限数为 ， 的 n ＝5；图的仅需色数为 S ＝5。可见， L ＝ 的 n ＝ S 。

丁环体表面的全相邻力为 L ＝6；图的相邻面的组合力的极限数为 的 n ＝6；图的仅需色数为 S ＝6。可见， L ＝ 的 n ＝ S 。

8 字连环体表面的全相邻力为 L ＝7；图的相邻面的组合力的极限数为 ， 的 n ＝7；图的仅需色数为 S ＝7。可见， L ＝ 的 n ＝ S 。

依照归纳法，得

物体表面的全相邻力、图的相邻面的组合力的极限数、图的仅需色数三者是等于关系，其定理为： L ＝ 的 n ＝ S

“ L ＝ 的 n ＝ S ”，这个定理就是求证“物体表面的图的仅需色数”的定理。它对于“为什么不同的物体表面的图其仅需色数有的相同，有的不相同”的着色现象作出了正确的回答，是四色猜想命题的正确答案。此证。 kK52lTSuZOSuKrmLXC50p2lI5xMBuBjaXskVyTz1LuN2M/8NzRj4wyVzituQDGpf