4.“图论”应用“两点连线”证明方法时存在三大缺陷

定义 10 “两点连线”证明方法是指数学家赫伍德创建的、当今数学界认可和“图论”教科书通用的证明方法。即应用拓扑原理，将连接体（面）置换为“点”（也称为顶点），并在两“点”之间添画上一条连线（也称为边），以此证明着色区分的方法。

就证明四色猜想命题而言，本人的证明方法及证明结果与“图论”的证明方法及证明结果完全不同。这当中，是本人的证明方法有错，还是“两点连线”证明方法有错，抑或是“图论”应用“两点连线”证明方法时有错？对此，现将地图的“整体元素循序逐增”的基本原理与“两点连线”证明方法进行对接，答案自有分晓。

“图论”缺陷 1 漏缺了将“连线两端数字以组合数字记录下来”这道程序

图 21 是“图论”教科书中的一个例图。现将该图的点转换为有编号的点（见图 22），遵循地图的“整体元素循序逐增”的基本原理，将每条连线两端数字以组合数字记录下来，随之形成图的组合模式（见图 23）。

从图 23 看出，图 21 的结构模式为 组合模式。可见，“两点连线”证明方法与本人的证明方法，两者证明结果相同：地图的结构模式是 组合模式。同时证明，“两点连线”证明方法本身没有错，错是错在“图论”在应用“两点连线”证明方法时，没有遵循地图的“整体元素循序逐增”的基本原理，在将地图置换为“两点连线”的图后，漏缺了将“连接线两端数字和非连接线两端数字以组合数字记录下来”这道程序，而直接进入证明色分程序，完全没有切入地图的 组合模式。这便是“图论”应用“两点连线”证明方法时存在的缺陷之一。

“图论”缺陷 2 图的连线只表达“两两相邻”关系，不表达“两两非相邻”关系

图 24、图 25 是“图论”教科书中有关“着色理论”的两个例图。图24 是图 25 “加上新边 ， ， 得到的图”，该书以此证明并得结论：“添加上新边只能色数不减，甚至变大。”

图 26 是根据本人的“组合说”理论将图 24、图 25 完整表达后的图表。

从图 24、图 25 与图 26 的比较中可知，同样是应用“两点连线”证明方法，“图论”对“添加上新边只能色数不减，甚至变大”的结果未能说出其“所以然”，而本人的“组合说”理论对此结果能说出其“所以然”：图 24“添加上新边”后，虽是相邻点（即边）增加了，但其图的相邻面的组合力并没有升降，仍为 ，故色数仍为 4。显然，“图论”未能说出其“所以然”，是错在“图论”将地图用“两点连线”方法表达时，只表达“两两相邻”关系，不表达“两两非相邻”关系，其表达的地图，乃是漏缺了“两两非相邻”这一半的“半个地图”。因此，“图论”不可能发现地图的整体结构是 组合模式，更不可能从图的组合模式中发现“图的相邻面的组合力”与“图的色数”两者的关系。此是“图论”应用“两点连线”证明方法时存在的缺陷之二。

“图论”缺陷 3 图的连线运行只讲随意性，没有遵循“连线运行规则”

图 27 是 K ₅ 图，即是五色区分图。无疑，如按图 27 所表达的那样，图中的 10 条连线均为连接线，表明 5 个点全连接，需 5 色区分。然而，如果 K ₅ 图作为平面图来表达（即是展现在平体表面的图），它是不可能实现的图（地图）。因为，本人研究结果表明：平体表面的图不能做到 5 个点（亦即 5个面）全连接。据此，本人定了个“连线运行规则”：连接线与连接线不可交叉通过；非连接线与非连接线可交叉通过；非连接线与连接线可交叉通过。事实证明，这一规则是必须遵循的规则，只有遵循这一规则，“两点连线”证明方法的完整性和准确性才能得之于体现。

图 28 是平体表面不能做到 5 个点全连接的证明图。图中的实线是表示连接线，虚线是表示非连接线。因①与⑤两个点非连接，故图中 5 个点不能做到全连接，图的相邻面的组合力为 ，仅需 4 色区分。

图 27、图 28 两个图同为由 5 个点 10 条连线组成，所不同的，图 27 的 10条连线均为连接线（即实线），图 28 的 10 条连线为 9 条连接线（即实线）、1条非连接线（即虚线）。这“1 条虚线”之差，就是平体表面不能做到 5 个点全连接的标志，是本人的“组合说”证明方法与“图论”应用“两点连线”证明方法的本质区别。

图 27 与图 28 两个图的比较证明告诉我们，“图论”应用“两点连线”证明方法的缺陷之三，就在于表达地图的面与面之间的关系时，连线运行只讲随意性，没有遵循“连线运行规则”。

总之，本人“组合说”的证明方法的证明结果与正确应用“两点连线”证明方法的证明结果完全一致，而“图论”错就错在未能正确应用“两点连线”证明方法。

恕我直言：四色猜想命题，是一个典型的被事物现象遮住了事物本质的命题。想要破解它，首先要读懂它，正确解读它。前人对葛斯里发现的地图着色现象的最大误读，就是把“四色”理解为该现象的最核心的关键词，将这一现象定之为“四色定理（四色猜想）”。倘若当年的数学家们能够从这一现象中，由发现平（球）体表面的图仅需四色区分，进而发现环体表面的图仅需五色区分，继而发现丁环体表面的图仅需六色区分、8 字连环体表面的图仅需七色区分，直至发现复杂、更为复杂的多环体表面的图仅需八色、九色…… n 色区分，那么，他们就会从这一系列的仅需色数现象中，发现“仅需”两字才真正是地图着色现象的最核心的关键词，就会明白平（球）体表面的图仅需四色区分只不过是 n 种仅需色数现象中的一个实例而已，就会将这一系列现象定之为“仅需色数定理”。然而，令人遗憾的是，由于当时的条件所限（尤其是对地图着色现象的认识所限），前人未能做到这一点；更令人遗憾的是，后人至今未能纠正前人这一误读。

2011年2月18日（完稿）

（注：本文是发表于《科协论坛》2011 年 8 期下半月刊《物体表面的图的仅需色数的定理及其验证方法》一文原发稿，发表时因文字字数限制的要求，作了较大的删减） a2EbRU9wNN4W/rw5s4kbeXRWG1HcI5AGD5zFj6vsbNKJO/J2l2ivelXq5wnje16C