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所谓数学矛盾，指的是数学中的逻辑矛盾，即运用数学界公认的公理和推理规则推导出来的两个互相矛盾的命题所组成的有机整体。
数学堪称是逻辑性最强的学科，形式逻辑是数学的基本推理工具，说数学中存在逻辑矛盾，并且这种逻辑矛盾植根于数学本性，是原则上不可消除的，这对许多人来说无异于“天方夜谭”。然而，事实是检验真理的最终标准，可以举出一系列严格的数学矛盾摆在世人面前，面对铁一般的客观事实，作为一个彻底的唯物主义者，除了正视和承认已是别无选择。
古希腊哲学家芝诺和亚里士多德在两千多年前就向数学家提出尖锐质疑，指出数学不能自圆其说，即数学包含逻辑矛盾，这就是著名的芝诺悖论和亚里士多德悖论。
1.芝诺悖论
芝诺提出过许多悖论，在此仅以单子悖论为例。古希腊毕达哥拉斯学派的数学信条是“万物皆数”，这里的“数”最初只是指有理数即整数和作为整数之比的分数，在无理数被发现以后，不得不将无理数也纳入“数”的范畴。至此，任何线段的长度，包括不能用有理数来表示的单位正方形对角线的长度都有确定的“数”与之对应。一条有限长的线段，由无限多个“单子”所组成，每个“单子”对应一个确定的“数”，该“数”表示从开端到该“单子”的线段长度。对此，芝诺提出了“单子”长度是0还是非0的问题：如果“单子”长度为0，那么“单子”毫无积累性，根据“无不生有、有不化无”的哲学信条，线段的长度只能是0，这与事实不符；如果“单子”的长度是非0，无限多个“单子”所组成的线段只能是无限长，也与事实不符。所谓“单子”就是数学中的“点”，直到今天，“有限长的线段上有无限多个点”仍然是主流数学的经典观点。让我们用更通俗的方式再来回味一下芝诺的上述悖论：假设一条长度为 1 的单位线段是由无限多个点所组成的，如果点的长度为0，点就是一个不占有任何空间的虚无的对象，就是“什么都没有”，它不能成为任何对象的组成部分，当然也不能成为线段的组成部分；如果点的长度大于0，那么点组成线段时就像珍珠穿成项链那样是链式排列的，于是可以将点一个接一个地数出来，数到终端不会是无限数，如果真是无限数，那么中间一定会有一个分界，使得分界两边相邻的两个数一个是最后一个有限数、一个是第一个无限数，而这是不可能的。这表明如果肯定数学家所说的“有限长线段由无限多个点所组成”是真的，那就势必隐含地承认这样一个逻辑矛盾——点的长度既是0又不是0！
2.亚里士多德悖论
据说亚里士多德有一次同他的邻居开玩笑，说自己能够证明大圆周长等于小圆周长，邻居们都摇头表示不信。于是，亚里士多德当众做了一个实验，令他的邻居目瞪口呆。亚里士多德用一整块木头刻了一个特殊的轮子，这个轮子像空竹一样，一半是大轮、一半是小轮，大轮和小轮同心连锁，大轮周长是小轮周长的两倍。将轮子放在台阶上，小轮同上一级台阶相切、大轮同下一级台阶相切。在大轮和小轮的轮缘上涂上颜料汁，以大轮为主动轮旋转一周，在上下两级台阶上印出等长的两条轨迹。亚里士多德解释说，由于大轮和小轮同心连锁，因此，大轮转一周的同时，小轮也只能转一周。上一条轨迹是小轮一周展开线、下一条轨迹是大轮一周展开线，圆周展开线等于圆周长。既然大轮和小轮的圆周展开线等长，那么，当然是大轮周长等于小轮周长！这里的奥秘在于大轮是纯粹的滚动，而小轮是连滚带滑。滚与滑的结合水乳交融，体现在每一点上，因此，如果从小轮轨迹上任取一点，从中去掉滑动的成分，该点将变小。数学家认为一切数学点除了位置可以不同外其他方面都是无差别的，没有大小之别，然而上述实验却表明，大轮与平面的切点要比小轮与平面的切点大。将此问题完全数学化：在平面上作两个同心圆，使得大圆周长为小圆周长的两倍。从圆心出发过大圆圆周上的每一点作射线，每条射线都同小圆圆周有交点，由此建立了大圆圆周同小圆圆周的点的一一对应。“一一对应即相等”，这表明大圆圆周上的点同小圆圆周上的点在“数目”上同样多。在此前提下，如果大圆圆周上的点同小圆圆周上的点在“大小”上毫无差别，如何说明大圆圆周长、小圆圆周短这个客观事实呢？面对事实，在肯定大圆圆周同小圆圆周点的“数目”相同的前提下，只有华山一条路，那就是承认大圆圆周上的点大、小圆圆周上的点小！点有大小之别表明点的长度大于0，即点是可分的。在该具体问题中，大圆圆周上的点相当于两个小圆圆周上的点，将一个大点分成两个小点，这两个小点是相邻的，由此可知，无论是大圆圆周还是小圆圆周，点与点之间都是有相邻关系的。联想到数学上可以证明任何两个不同的点之间都可以找到它们的中点，即任何两个不同的点都不能相邻而只能相隔，一个逻辑矛盾跃然而出：两个不同的数学点既可以彼此相邻又不可以彼此相邻！
芝诺和亚里士多德这两位哲学家对数学不能自圆其说的质疑是十分有力的，其论证非常符合人们的经验和直觉，毫无牵强和难以接受的地方。数学不能自圆其说就是指数学有自相矛盾的地方，也就是说，存在数学矛盾的问题早在两千多年前就已经进入哲学的视野。
尽管哲学家已经指出存在数学矛盾，但数学家长期不予理睬，一直乐观地相信数学在本质上是协调的，即不会出现本质上不可消除的逻辑矛盾。一直到现在，多数数学家仍然相信任何一个悖论都是同数学的本质不相容的，都是暂时存在的，终究有一天会被消除。不过到了近代，随着非欧几何的诞生，终于有一些数学家开始正视数学协调性问题并为此忧虑。
罗巴切夫斯基创立的非欧几何同传统的欧氏几何在公理系统上只有一条公理不同，这就是在平行公理上正相反对。欧氏平行公理肯定在同一平面上过已知直线外任意一点只能作唯一的一条直线与之平行，罗氏平行公理肯定在同一平面上过已知直线外任意一点至少可以做两条不同的直线与之平行。尽管两个平行公理是互相矛盾的，但都可以在直觉与经验的基础上加以理解。例如，对于欧氏平行公理可以这样理解：在同一平面上过已知直线外任意一点a可以做一条不向已知直线倾斜的直线P 1 与之平行，如果还可以过a做一条不同于P 1 的直线P 2 与已知直线平行，那么，P 2 一定在a的一侧向已知直线倾斜，在该侧P 2 同已知直线逐渐接近，由于a到已知直线的距离是有限的，而P 2 是可以无限延伸的，因此P 2 一定会在逐渐接近过程中达到与已知直线相交，故除了P 1 之外不可能再作出一条过a点的与已知直线平行的直线，这表明欧氏平行公理是真的；对于罗氏平行公理可以这样理解：在同一平面上作三条欧氏平行线，依次称为上线、中线、下线，在下线上选定一点a，令一只永生的蜘蛛将蛛丝的开端固定在a，然后爬到中线上并永远沿中线向右方爬去。将蛛丝称为斜线，可以想象，即使蜘蛛沿中线爬到无限远的地方，斜线也不会同上线相交并且也不会同下线重合。当斜线无限长的时候，对于上线来说，在同一平面上过a点做了两条不同的直线与之平行，一条是下线，另一条是斜线，这表明罗氏平行公理也是真的。上述两种理解都不是严格的数学证明，都建立在一定的直觉和经验的基础上，可信度大体相当，特别是当人们运用相对证明法证明它们的逻辑地位是等价的，即如果罗氏几何是不协调的，那么欧氏几何也不协调，如果欧氏几何是协调的，那么罗氏几何也协调，罗氏平行公理就与欧氏平行公理在逻辑上真正平起平坐了，这就存在一个可能，两者在同一条件下如在同一平面上或者都是真的、或者都是假的，果真如此，数学在本质上就是不协调的，数学矛盾就是不可避免的。在罗氏几何与欧氏几何相对相容性被证明之前，人们普遍认为欧氏几何是唯一正确的几何、数学真理是绝对真理，在上述证明和罗氏几何具有重大应用价值被发现之后，人们不得不承认数学真理也是相对真理并觉察到在数学中出现逻辑矛盾的危险是存在的。特别是 20 世纪初在作为数学基础的集合论中发现了罗素悖论之后，上述忧虑就变成了恐慌，出现了所谓“第三次数学危机”，以致德国数学大师希尔伯特发出如下痛切陈词：“必须承认，由于悖论的出现而造成的形势是难以忍受的，只要设想一下，每个人曾经学过、教过并在数学中加以应用的定义和演绎方法，从来都被认为是真理和必然的典范，而现在却导致了荒谬，如果连数学思维都是不可靠的，那么到何处还能找到真理和必然性呢？”为了重建数学的可靠性，希尔伯特提出了庞大的希尔伯特计划，主要目标就是对数学公理系统的协调性作出严格的数学证明，即确认数学公理系统不会推出逻辑矛盾，然而，这一梦想被著名数理逻辑学家哥德尔于 20 世纪 30 年代初彻底打碎了！哥德尔出人意料地证明任何以直接或间接方式蕴涵皮亚诺算术公理的数学公理系统其协调性都不能在本系统得到证明而只能到更高层次的系统中寻求证明，而更高层次系统自身的协调性依然不能在本系统得到证明，这个没有最终环节的无限链条使得具有一定复杂度的数学公理系统的协调性不可能得到绝对证明。既然数学的协调性不能被绝对证明，那么，数学中存在逻辑矛盾的可能性就永远不能被彻底消除，事实上这种可能性已经成为现实，下面给出的离散型数学矛盾就是数学在本质上具有不协调性的一个铁证。
芝诺和亚里士多德给出的数学矛盾涉及无限小的点和连续性，在思维中建立点的形象及其相互关系具有较高难度。如果能够找到离散型数学矛盾，涉及的对象具有宏观性并且相互之间具有明确界限，就会更容易想象并为数学证明提供有利条件，从而具有更大的说服力和可信度。下面给出的“盾矛悖论”是笔者在多年探索中找到的比较通俗易懂的一个离散型真矛盾。
盾矛悖论
先看有限情形，有n支矛，依次记为M 1 ，M 2 ，M 3 ，…，M n ；有n面盾，依次记为D 1 ，D 2 ，D 3 ，…，D n 。任取一支矛，它能够刺穿一切序号不比它大的盾，但不能刺穿任何序号比它大的盾，如 3 号矛能够刺穿 1 号盾、2 号盾、3 号盾，但不能刺穿4 号盾、5 号盾、6 号盾，……；任取一面盾，它能够挡住一切序号小于它的矛，但不能挡住任何序号不小于它的矛，如 99 号盾，它能够挡住 1 ～98 号矛，但不能挡住 99 号矛和序号更高的矛。将能够被同一支矛刺穿的盾（或说能够被一支矛统一刺穿的盾）漆成红色，其余的盾漆成蓝色；将能够刺穿一切盾的矛漆成黑色，其余的矛漆成白色。显然，一切盾都是红盾，因为一切盾都能够被最后一支矛M n 刺穿，不存在蓝盾；最后一支矛M n 为黑矛，因为它能刺穿一切盾，其余矛为白矛，因为它们都不能刺穿一切盾，至少不能刺穿最后一面盾D n 。简而言之，在有限情形下盾与矛的颜色分布是“全红对非全白”。
再看无限情形，上述规定不变。依然是一切盾都是红盾，不存在蓝盾。假设存在蓝盾，必有第一个蓝盾，将第一个蓝盾记为D i ，这表明1 至i ～1 号盾能够被同一支矛所刺穿，而 1 至i号盾却不能被同一支矛所刺穿，这显然与事实不符，因为M i 就能刺穿 1 至i号盾，矛盾，故不存在蓝盾。任取一支矛M k ，它不能刺穿D k ＋ 1 ，即它不能刺穿一切盾，故只能是白矛。也就是说，一切矛都是白矛，不存在黑矛。简而言之，在无限情形下盾与矛的颜色分布是“全红对全白”。
在有限情形下盾与矛的颜色分布是“全红对非全白”，即“一切盾能够被同一支矛所刺穿”并且“至少存在一支矛能够刺穿一切盾”，没有逻辑矛盾；在无限情形下盾与矛的颜色分布是“全红对全白”，即“一切盾能够被同一支矛所刺穿”并且“不存在任何一支矛能够刺穿一切盾”，这显然是逻辑矛盾！“一切盾能够被同一支矛所刺穿”等价于“至少存在一支矛能够刺穿一切盾”，“至少存在一支矛能够刺穿一切盾”与“不存在任何一支矛能够刺穿一切盾”在逻辑上互相矛盾毫无疑义。
盾矛悖论在本质上是数学矛盾。无限多面盾的序号恰好是 1，2，3，…这无限多个自然数，由于无最后一面盾，也无最大序号，故不存在最大自然数；另一方面，存在着一支能够刺穿一切盾的矛，由于一切矛的序号都是自然数，因此这支矛的序号也是自然数。既然这支矛能够刺穿一切盾，它的序号就不会小于任何一面盾的序号，即不会小于任何一个自然数，也就是说，它是最大自然数。“既不存在最大自然数同时又存在最大自然数”，这就是作为盾矛悖论本质内容的典型的数学矛盾。
需要特别指出的是，“一切盾都是红盾”与“一切矛都是白矛”都是不依人的意志为转移的客观事实，都是在原则上可以用实践来检验的。如果有谁说存在蓝盾，原则上我们总可以走到蓝盾面前，当场指出它不能是蓝色而只能是红色；同样，如果有谁说存在黑矛，原则上我们总可以走到黑矛面前，当场指出它不能是黑色而只能是白色。既然数学矛盾的两个方面都是符合事实的，那就可以说数学矛盾的两个方面同真。再换个角度看，“一切盾都是红盾”等价于“至少存在一支黑矛”，“至少存在一只黑矛”同“一切矛都是白矛”的客观事实不相符合，即“至少存在一只黑矛”是假的，也就是说“一切盾都是红盾”是假的；“一切矛都是白矛”等价于“不存在黑矛”，这与“一切盾都是红盾”的客观事实不相符合，因为“一切盾都是红盾”等价于“至少存在一支黑矛”，这表明“不存在黑矛”是假的，也就是说“一切矛都是白矛”是假的。综上所述，数学矛盾是一种特殊的逻辑矛盾，它不是像普通逻辑矛盾那样两个方面一真一假，而是两个方面同真同假。在辩证矛盾中，有一种超出形式逻辑框架的真矛盾，所谓真矛盾就是由同真同假的两个方面所组成的逻辑矛盾。至此，我们可以得出如下结论：
数学矛盾是真矛盾。它是特殊的逻辑矛盾和特殊的辩证矛盾，具有不以人的意志为转移的客观性。