设垄断厂商生产一种产品,面对两个相互隔离的子市场1和2,这两个子市场的需求函数分别为P 1 =f(Q 1 )和P 2 =f(Q 2 ),厂商的成本函数为TC(Q 1 +Q 2 ),其中,Q 1 为子市场1的需求量,Q 2 为子市场2的需求量。这样,垄断厂商的利润为
由利润最大化的必要条件,
可知
MR 1 =MR 2 =MC
由上式可以解出使利润最大化的最优产量
和
。此时子市场1和2的最优价格分别为
=f(
)和
=f(
),厂商的最大利润π
*
=
+
-TC(
+
)。
边际收益与需求的价格弹性有关,具体说来,由
TR=PQ
可知
故
由厂商利润最大化的必要条件和边际收益与弹性的关系式可知,
结论 1 垄断厂商可以实施三度价格歧视(P 1 ≠P 2 )的充要条件是
即两个子市场的需求价格弹性不同。
设垄断厂商生产一种产品,面对两个子市场1和2,这两个子市场的需求函数分别为线性函数P 1 =a 1 -b 1 Q 1 和P 2 =a 2 -b 2 Q 2 ,厂商的生产成本为TC(Q 1 +Q 2 )。该厂商想要确定子市场1和2的产量(销量)Q 1 和Q 2 ,以使自己的利润最大。厂商的利润函数为
由利润最大化的必要条件,有
解出最优产量
此时,最优总产量为
子市场 1 和 2 的最优价格分别为
垄断厂商的最大利润为
垄断厂商在两个子市场统一定价,这时两个子市场实际被视为一个市场,因此,我们把两个子市场合成一个市场来研究。由P
1
=a
1
-b
1
Q
1
,可解出Q
1
=
,由P
2
=a
2
-b
2
Q
2
可解出Q
2
=
,这样市场总需求量Q=Q
1
+Q
2
=
-
,由此解出P=
-
。这样,垄断厂商的利润为
利润最大化的必要条件为
由此解出最优产量
此时,市场的最优价格为
垄断厂商的最大利润为
通过比较统一定价和歧视定价的最优产量、最优价格和最大利润,我们可以得到若干重要的结论。现归纳如下。
结论 2 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下,垄断厂商统一定价和歧视定价利润最大化的最优总产量相同。
结论 3 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下,垄断厂商歧视定价利润增量与成本无关。
结论 4 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下,垄断厂商统一定价的最优价格介于歧视定价的两个最优价格之间。
证明:统一定价时的最优价格
由于P
*
是
和
的加权平均,故P
*
介于
与
之间。
结论 5 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下,垄断厂商三度价格歧视有效(利润增加)的充要条件是
a 1 ≠ a 2
结论 6 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下,垄断厂商歧视定价与统一定价相比,利润只会增加,不会减少。
证明:歧视定价的最大利润与统一定价的最大利润之差为
由上式可知
这样就证明了结论 5 和 6。
我们通过一个典型的算例来说明,具体问题是如何解决的,并让读者体会到解决问题的不同思路,同时,也附带验证我们前面分析结果的正确性。
已知某垄断厂商利用一个工厂生产一种产品,其产品在两个分割的市场上出售,它的成本函数为TC=Q 2 + 10Q,两个市场的需求函数分别为P 1 = 80 -2.5Q 1 ,P 2 = 180 -10Q 2 。求
(1)该厂商实行三度价格歧视时,它追求利润最大化的前提下的两市场各自的销售量、价格,以及厂商的总利润。
(2)当该厂商在两个市场上实行统一的价格时,它追求利润最大化的前提下的两市场各自的销售量、价格,以及厂商的总利润。
(3)比较(1)和(2)的结果。
解:(1)法 1:分析利润函数。
厂商的利润
由利润最大化的必要条件,
解出Q 1 =8,Q 2 =7,从而总销售量Q=Q 1 +Q 2 =15。此时,P 1 =80-2.5Q 1 =60,P 2 =180-10Q 2 =110,利润π 1 =875。
法 2:由MR 1 =MR 2 =MC分析。
由MR 1 =MC,可得Q 2 =7,由MR 2 =MC,可得Q 1 =8,从而总销售量Q=Q 1 +Q 2 =15。此时,P 1 =80-2.5Q 1 =60,P 2 =180-10Q 2 =110,利润π 1 =875。
法 3:利用本节推导出的公式直接计算。
由上两式,解出Q 1 = 8,Q 2 = 7,从而总销售量Q=Q 1 +Q 2 = 15。
(2)法 1:条件极值化为无条件极值:市场合成。
由P 1 = 80 -2.5Q 1 ,解出Q 1 = 30 -0.4P,由P 2 = 180 -10Q 2 解出Q 2 = 18 -0.1P。总市场是两个子市场的合成,故Q=Q 1 +Q 2 = 50 -0.5P,解出总市场的需求函数P=100 -2Q。
总市场的边际收益为
总市场的边际成本
由MR=MC,可得
100 -4Q=2Q+ 10 ,
解出总销售量Q=15。此时,统一的市场价格P=100-2Q=70,利润π 2 =TR-TC=PQ-TC=675。
法 2:条件极值的拉格朗日乘数法。
利润函数
条件P 1 =P 2 ,即 10Q 2 -2.5Q 1 -100=0。引入拉格朗日乘数λ,构造拉格朗日函数
令
联立上面三式可解出
Q 1 = 4,Q 2 = 11
故总市场销售量Q=Q 1 +Q 2 =15,统一的市场价格P=P 1 =80-2.5Q 1 =70,利润π 2 =PQ-TC=675。
法 3:利用本节推导出的公式直接计算。
可解出
利润π 2 =PQ-TC=675。
(3)比较(1)与(2)的结果可知,统一定价与歧视定价的总销售量相同,都是 15;统一定价的价格介于歧视定价的两市场价格之间,60 < 70< 110;统一定价的利润小于歧视定价的利润,675 < 875。可见,三度价格歧视能增加垄断厂商的利润。