第二节
垄断市场三度价格歧视的分析方法

一、经典理论

设垄断厂商生产一种产品，面对两个相互隔离的子市场1和2，这两个子市场的需求函数分别为P ₁ ＝f（Q ₁ ）和P ₂ ＝f（Q ₂ ），厂商的成本函数为TC（Q ₁ ＋Q ₂ ），其中，Q ₁ 为子市场1的需求量，Q ₂ 为子市场2的需求量。这样，垄断厂商的利润为

由利润最大化的必要条件，

可知

MR ₁ ＝MR ₂ ＝MC

由上式可以解出使利润最大化的最优产量 和 。此时子市场1和2的最优价格分别为 ＝f（ ）和 ＝f（ ），厂商的最大利润π ^＊ ＝ ＋ －TC（ ＋ ）。

边际收益与需求的价格弹性有关，具体说来，由

TR＝PQ

可知

故

由厂商利润最大化的必要条件和边际收益与弹性的关系式可知，

结论 1 垄断厂商可以实施三度价格歧视（P ₁ ≠P ₂ ）的充要条件是

即两个子市场的需求价格弹性不同。

二、歧视定价

设垄断厂商生产一种产品，面对两个子市场1和2，这两个子市场的需求函数分别为线性函数P ₁ ＝a ₁ －b ₁ Q ₁ 和P ₂ ＝a ₂ －b ₂ Q ₂ ，厂商的生产成本为TC（Q ₁ ＋Q ₂ ）。该厂商想要确定子市场1和2的产量（销量）Q ₁ 和Q ₂ ，以使自己的利润最大。厂商的利润函数为

由利润最大化的必要条件，有

解出最优产量

此时，最优总产量为

子市场 1 和 2 的最优价格分别为

垄断厂商的最大利润为

三、统一定价

垄断厂商在两个子市场统一定价，这时两个子市场实际被视为一个市场，因此，我们把两个子市场合成一个市场来研究。由P ₁ ＝a ₁ －b ₁ Q ₁ ，可解出Q ₁ ＝ ，由P ₂ ＝a ₂ －b ₂ Q ₂ 可解出Q ₂ ＝ ，这样市场总需求量Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝ － ，由此解出P＝ － 。这样，垄断厂商的利润为

利润最大化的必要条件为

由此解出最优产量

此时，市场的最优价格为

垄断厂商的最大利润为

四、歧视定价和统一定价的比较

通过比较统一定价和歧视定价的最优产量、最优价格和最大利润，我们可以得到若干重要的结论。现归纳如下。

结论 2 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，垄断厂商统一定价和歧视定价利润最大化的最优总产量相同。

结论 3 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，垄断厂商歧视定价利润增量与成本无关。

结论 4 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，垄断厂商统一定价的最优价格介于歧视定价的两个最优价格之间。

证明：统一定价时的最优价格

由于P ^＊ 是 和 的加权平均，故P ^＊ 介于 与 之间。

结论 5 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，垄断厂商三度价格歧视有效（利润增加）的充要条件是

a ₁ ≠ a ₂

结论 6 在两个子市场的需求函数均为线性需求函数的条件下，垄断厂商歧视定价与统一定价相比，利润只会增加，不会减少。

证明：歧视定价的最大利润与统一定价的最大利润之差为

由上式可知

这样就证明了结论 5 和 6。

五、算例

我们通过一个典型的算例来说明，具体问题是如何解决的，并让读者体会到解决问题的不同思路，同时，也附带验证我们前面分析结果的正确性。

已知某垄断厂商利用一个工厂生产一种产品，其产品在两个分割的市场上出售，它的成本函数为TC＝Q ² ＋ 10Q，两个市场的需求函数分别为P ₁ ＝ 80 －2.5Q ₁ ，P ₂ ＝ 180 －10Q ₂ 。求

（1）该厂商实行三度价格歧视时，它追求利润最大化的前提下的两市场各自的销售量、价格，以及厂商的总利润。

（2）当该厂商在两个市场上实行统一的价格时，它追求利润最大化的前提下的两市场各自的销售量、价格，以及厂商的总利润。

（3）比较（1）和（2）的结果。

解：（1）法 1：分析利润函数。

厂商的利润

由利润最大化的必要条件，

解出Q ₁ ＝8，Q ₂ ＝7，从而总销售量Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝15。此时，P ₁ ＝80－2.5Q ₁ ＝60，P ₂ ＝180－10Q ₂ ＝110，利润π ₁ ＝875。

法 2：由MR ₁ ＝MR ₂ ＝MC分析。

由MR ₁ ＝MC，可得Q ₂ ＝7，由MR ₂ ＝MC，可得Q ₁ ＝8，从而总销售量Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝15。此时，P ₁ ＝80－2.5Q ₁ ＝60，P ₂ ＝180－10Q ₂ ＝110，利润π ₁ ＝875。

法 3：利用本节推导出的公式直接计算。

由上两式，解出Q ₁ ＝ 8，Q ₂ ＝ 7，从而总销售量Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝ 15。

（2）法 1：条件极值化为无条件极值：市场合成。

由P ₁ ＝ 80 －2.5Q ₁ ，解出Q ₁ ＝ 30 －0.4P，由P ₂ ＝ 180 －10Q ₂ 解出Q ₂ ＝ 18 －0.1P。总市场是两个子市场的合成，故Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝ 50 －0.5P，解出总市场的需求函数P＝100 －2Q。

总市场的边际收益为

总市场的边际成本

由MR＝MC，可得

100 －4Q＝2Q＋ 10 ，

解出总销售量Q＝15。此时，统一的市场价格P＝100－2Q＝70，利润π ₂ ＝TR－TC＝PQ－TC＝675。

法 2：条件极值的拉格朗日乘数法。

利润函数

条件P ₁ ＝P ₂ ，即 10Q ₂ －2.5Q ₁ －100＝0。引入拉格朗日乘数λ，构造拉格朗日函数

令

联立上面三式可解出

Q ₁ ＝ 4，Q ₂ ＝ 11

故总市场销售量Q＝Q ₁ ＋Q ₂ ＝15，统一的市场价格P＝P ₁ ＝80－2.5Q ₁ ＝70，利润π ₂ ＝PQ－TC＝675。

法 3：利用本节推导出的公式直接计算。

可解出

利润π ₂ ＝PQ－TC＝675。

（3）比较（1）与（2）的结果可知，统一定价与歧视定价的总销售量相同，都是 15；统一定价的价格介于歧视定价的两市场价格之间，60 ＜ 70＜ 110；统一定价的利润小于歧视定价的利润，675 ＜ 875。可见，三度价格歧视能增加垄断厂商的利润。 9gufOjUnvQ0ByWkYFdzxz5B9ed40eHMTP3FDzCWVXu3P5po552V5gUifSdu3kT9J