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设有一垄断厂商生产一种产品，在同一个市场销售，市场需求函数为线性函数P＝a－bQ（a ＞ 0，b ＞ 0）。该厂商的经济行为分为两个阶段：生产阶段和营销阶段。在生产阶段厂商的目标是利润最大化，它考虑如何根据市场需求确定最优产量（假设市场出清，产量即销量）以达到该目标；在营销阶段厂商的目标是占有最多的消费者剩余，它考虑如何确定需求量区间的分段点，分段定价，以达成该目标。
（一）产量决策（单一定价）
厂商的利润函数为
利润最大化的必要（一阶）条件为
由此解出最优产量
。为简化起见，我们假设生产成本TC为0，或者说不考虑生产成本。这样收益最大化的最优产量为
。因此时
＝－2b ＜ 0，故Q
＊
也是厂商总收益最大的充分条件。此时市场价格为P
＊
＝ a－bQ
＊
＝
，垄断厂商的最大总收益为TR
＊
＝P
＊
Q
＊
＝
。
（二）歧视定价
我们考虑比较简单的三段定价情形。设垄断厂商把需求量区间(0，Q 3 ]分为三段，(0，Q 3 ]＝(0，Q 1 ]∪(Q 1 ，Q 2 ]∪(Q 2 ，Q 3 ]，在(0，Q 1 ]定价P 1 ，在(Q 1 ，Q 2 ]定价P 2 ，在(Q 2 ，Q 3 ]定价P 3 （见图 2.1.1）。垄断厂商占有的消费者剩余为
图2.1.1 线性需求下三段定价
该厂商确定最优的分段点Q 1 和Q 2 ，以使CSO最大。CSO最大化的必要条件为
由第一式可知，Q
1
＝Q
2
－Q
1
，由第二式可知，Q
2
－Q
1
＝Q
3
－Q
2
，这样，Q
1
＝Q
2
－Q
1
＝Q
3
－Q
2
，可以看出需求量区间是等分的。由此解出分段点为Q
1
＝
Q
3
，Q
2
＝
Q
3
。因此时
＝－2b，
＝b，
＝b，
＝－2b，
－
＝b
2
－4b
2
＝－3b
2
＜0，可知分段点取法Q
1
＝
Q
3
，Q
2
＝
Q
3
也是厂商占有的消费者剩余CSO最大化的充分条件。根据“（一）产量决策”的结果，取Q
3
＝Q
＊
＝
，则最优分段点
＝
，
＝
。此时，分段点1处的价格为
＝a－
＝
，分段点2处的价格为
＝a－
＝
。厂商的最大总收益为
＝
，其占有消费者剩余的最大值为CSO
d＊
＝
。上面符号中的上角标“＊”表示最优，以后还会用于表示均衡，“d”表示歧视（Discrimination）定价。
仔细分析上面的结果，实际上我们可以得到很多有用的结论。现把它们归纳如下。
结论 1 歧视定价总能占有消费者剩余，并把它转化为厂商的利润。三段定价最多能占有消费者剩余的
，利润最多能增长
。
结论 2 线性需求函数条件下垄断厂商实施二度价格歧视，收益最大化的充要条件是对需求量区间进行等分，分段定价。
为了弄清价格歧视的程度，我们定义如下两个指标：
我们用CS表示消费者剩余，它是消费者愿意支付的最高价格总额与实际支付的价格总额之差，在图 2.1.1 中，在不实施价格歧视的情形，消费者以P
3
＝P
＊
＝
的价格买到Q
3
＝Q
＊
＝
数量的商品，其愿意支付的价格总额为梯形AOQ
3
B的面积，实际支付的价格总额为矩形P
3
OQ
3
B的面积，故消费者剩余
－
＝
，也就是说，它是三角形AP
3
B的面积。这也是厂商最大可能占有的消费者剩余CSO
max
。CSO表示被占消剩（Consumer Surplus Occupied），比如三段定价时厂商占有的消费者剩余为（P
1
－P
3
）Q
1
＋（P
2
－P
3
）（Q
2
－Q
1
），它是两个矩形面积之和。RCSO表示被占消剩率（Rate of Consumer Surplus Occupied），它是厂商实际占有的消费者剩余CSO与最大可能占有的消费者剩余CSO
max
之比，其值在 0－1 之间。本例中厂商实际占有的消费者剩余CSO为
，最大可能占有的消费者剩余CSO
max
是三角形AP
3
B的面积，为
＝
，故被占消剩率RCSO＝
。RRG（Rate of Revenue Growth）表示收益增长率，它是歧视定价比之单一定价收益的增量ΔTR＝TR
d
－TR与单一定价时的收益TR之比，它刻划了厂商实施价格歧视时收益增长的程度，是一个相对指标。本例中，RRG＝
＝
。
设有一个垄断厂商生产一种产品，它面对的市场是一个非线性需求市场，其需求函数为P＝f（Q）＝
（A＞ 0），其中P为价格，Q为需求量。该垄断厂商把需求量区间 (0，Q
2
]分为二段（见图 2.1.2），即 (0，Q
2
]＝(0，Q
1
]∪ (Q
1
，Q
2
]，其中Q
2
是该垄断厂商单一定价（未实施二段价格歧视）时根据利润最大化原则确定的最优产量，既定。厂商在(0，Q
1
]定价P
1
＝ f（Q
1
），在(Q
1
，Q
2
]定价P
2
＝ f（Q
2
），实施二度价格歧视以使占有的消费者剩余
图2.1.2 非线性需求下二段定价
最多。由CSO最多的必要条件
解出
这是最优分段点Q
1
满足的等式，理论上由这个等式解出Q
1
即可。然而事情并没有想象的那么简单。以典型非线性函数P＝f（Q）＝
为例，由上式，
＝
，Q
1
无解。事实上，CSO＝Q
1
（f（Q
1
）－f（Q
2
）＝A－
，Q
1
∈(0，Q
2
)时没有最大值也没有最小值，也就是说，CSO最大化问题或者说收益最大化问题（注意CSO＝TR－P
2
Q
2
，而P
2
Q
2
为常数）无解。这个问题之所以无解是因为P＝f（Q）＝
在0点处出现无穷型间断。
解决这个问题的办法是（如图 2.1.2），取一个很小的需求量Q 0 ＞ 0，固定，在(Q 0 ，Q 1 ]定价P 1 ＝ f（Q 1 ），在(Q 1 ，Q 2 ]定价P 2 ＝ f（Q 2 ）。因为Q 0 非常接近于 0，所以在(Q 0 ，Q 1 ]定价P 1 ＝ f（Q 1 ）可以视作在 (0，Q 1 ]定价P 1 ＝ f（Q 1 ），此时
令
解出
此时分段点
处的价格为
＝
，厂商的最大总收益为TR
d＊
＝A（3 －2
），厂商占有消费者剩余的最大值为CSO
d＊
＝ 2A（1 －
）。
从这个例子可以看出，非线性需求下垄断厂商实施二度价格歧视时收益最大化问题一定有解，这只需要对需求量区间作一定的限制即可。对于在原点处连续的非线性需求函数，比如多项式函数（抛物线）P＝a －bQ 2 （a ＞ 0，b ＞ 0），以及指数函数P＝ae －bQ （a ＞ 0，b ＞ 0），则不需要作任何限制。
从图中可以看出，厂商最大可能占有的消费者剩余为一个曲边三角形的面积，其值为定积分
这样，
在线性需求下垄断厂商实施二度价格歧视使收益最大化的充要条件是等分需求区间定价，那么，在市场的需求函数为非线性函数的情形下，需求区间分段的规律又如何呢？
由
知，最优分段点Q
1
是Q
0
与Q
2
的几何平均值，Q
0
与Q
2
的算术平均值令为
，即
＝
，由几何平均值与算术平均值的关系知，Q
1
＜
，也就是说，Q
1
在
的左边，可见Q
1
＜Q
2
－Q
1
。这样，我们发现需求量区间的分段规律是前窄后宽。这个结果有没有普遍性呢？
结论 3非线性需求下垄断厂商二段定价实施二度价格歧视，使总收益最大的需求量区间分段的特点是前段窄后段宽。
证明：前面已经分析出使总收益最大的分段点Q 1 满足的等式为
或者
其中Q 1 ＜ξ＜Q 2 ，上式中应用了拉格朗日中值定理。这样
由于我们假定f′（Q）＜0（单调减少），f″（Q）＞0（凸向原点），可知f′（Q 1 ）＜f′（ξ）＜0，故
从而
Q 2 －Q 1 ＞Q 1 ，
即后一区间(Q 1 ，Q 2 ]长于前一区间 (0，Q 1 ]。