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郑板桥的一句“难得糊涂”，200多年来众说纷纭；而仅仅40多年，就使“难得模糊”成为人类一个新共识。“模糊”，又称：Fuzzy、暧昧……是“精确”、“清晰”的反义词，1965年由美国的查德教授创立，无论对科学技术，还是对方法论、认识论都影响深远。
现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其他“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。
通常所说的犯罪案件发生的模糊分布位置，它是指案件发生分布位置的不确定性、不精确性和多重性，例如，某一社区的居民居住类别，随着流动人口的变化，存在着居民属性分类的不确定性。又如某警务辖区的位置虽然可以用地理坐标或平面直角坐标来表示，但由于测量仪器本身的误差及操作的不准确性会导致获得的坐标不精确。一座桥上除了具有桥的性质外，还可能重叠有铁路及公路等。这说明地理现象的分布具有多义性。 ［10］
在空间现象定性描述中，普遍存在不精确的术语。例如，这个银行“附近”是什么？商场的北侧交通混乱，这里的“北侧”、“混乱”等术语其外延都是不明确的。
在警用地理信息系统中，犯罪地理数据的采集、测量、分析和传输过程中产生的误差实际上也是一种模糊现象。例如，在对犯罪图形进行数字化时，由于数字化仪及操作过程而产生的数据误差；在犯罪空间信息分析中，由于模拟过程及计算过程所产生的误差；在图形处理过程中，由于位移、合并边界线、分割而产生的图形误差等。
（一）模糊域的定义与表示
对一个模糊域中的每个点有两种可能的解释，可解释为该点在某种特征中或具有部分特征的度（该项特征有一个可能的模糊边界）；或解释为在特定点属于该特征的某一属性的浓度。为了简化，我们将仅考虑单变量区域。由此可合并这些解释，把一个模糊域的范围看作由任一点属性的浓度来定义。
一个模糊域可以定义为 N 2 域上的一个二元关系，即
R＝｛μ R （x，y）／（x，y）｝，（x，y）∈N 2 ，
其中：隶属度 μ R （ x ， y ）是在点（ x ， y ）某一特征属性的浓度。
因此，可以用一个二维矩阵来表示一个模糊域，以它的行列为坐标，可以用一个简单的8×8矩阵表示模糊域和与之等效的模糊子集。例如，特征属性是湖（LAKE，下用L表示），在区域上就可以呈现出一个的浓度，可表示为矩阵：
并且，其模糊子集为：
L：｛1.0 ／（1.7）＋ 1.0 ／（2.6）＋ 1.0 ／（2.7）＋ 1.0 ／（2.8）＋ 1.0 ／（3.6）＋ 1.0 ／（3.7）｝
一个模糊域及它的带有属性“森林”（Forest，以下用F表示）的区域特征及等效的模糊子集可表示为：
其模糊子集为F＝｛0.3 ／（1.2）＋ 0.4 ／（1.3）＋ 0.4 ／（1..4）＋ 0.2 ／（1.5）＋ 0.4 ／（2.1）＋ 0.6 ／（2.2）＋ 1.0 ／（2.3）＋ 1.0 ／（2.4）＋ 0.5 ／（3.1）＋ 1.0 ／（3.2）＋ 1.0 ／（3.3）＋ 0.8 ／（3.4）＋ 0.4 ／（4.1）＋ 1.0 ／（4.2）＋ 1.0 ／（4.3）＋ 0.7 ／（4.4）＋ 0.5 ／（5.1）＋ 0.7 ／（5.2）＋ 1.0 ／（5.3）｝
式（3）为一个点特征塔”（Tower，如下用T表示）的例子，模糊性表明点位置不明确。
（二）区域间的距离
模糊空间分析中的距离测量对于分析由模糊域表示的特征问空间关系是非常必要的。在n维向量空间中，点｛ q i ＝｛ x i 1 ， x i 2 ，…， x in ｝｝之间距离通常用Minkowski L p 一度量法来定义。传统的欧几里得距离由 L 2 度量法定义。类似地，市区或曼哈顿距离由 L 1 一度量法定义。
然而一个模糊域是一组点，因此，采用一个能测量组间距离的度量法更为合适。欧几里得及马哈诺比斯距离虽然能通过在矢量 q i 位置使用组方法而被应用于组中，但在决定一个模糊域的组均值的位置方面存在一些问题，因为，我们不能假定模糊集合的正态性；为此，可使用“最近邻”度量法。这种度量方法的含义是，计算每个集合元素之间距离的最大下界。即 dist （ A ， B ）＝ min a min bd （ a ， b ），其中：A和B是集合；a∈A，b∈B，且d（a，b）由 L p 一度量法所定义。这与计算A和B的笛卡尔集（A×B）中的元素的最小距离是等效的。
这些度量法的一个共同的特征是它们都产生一个标量，这对模糊区的距离度量并不完全适合，因此，这里提出了一个返回模糊域而不是单个的“硬”（hard）值的距离度量法。按下式计算两模糊域：
其中： d 2 （ a ， b ）是元素 a 和 b 之间的距离用上面描述的 L 2 度量法计算得出。
由此得出的两个模糊域A和B问的距离是一个新的模糊域。其支集是A和B的笛卡尔积（A×B）中元素间距离的集合，且它的隶属关系是A×B中每个元素对的最小隶属关系值。