下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
推理就是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。推理是人们获得新知识的重要手段。数学大师陈省身曾指出：“数学的主要方法，是逻辑的推理。”笛卡尔甚至认为：“几何学家通常总是运用一长串十分简易的推理完成最艰难的证明。这些推理使我想象到，人所能认识到的东西也是像这样一个接着一个的，只要我们不把等候当成真的接受，并且一贯遵守由此推彼的必然次序，就决不会有什么东西遥远到根本无法达到，隐藏到根本发现不了。”《数学课程标准》指出：数学课程“有助于培养学生的抽象思维和推理能力”。数学可以培养学生的推理能力，推理能力的发展同样也促进了学生对数学的认识。
任何推理由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；另一部分是推出的新判断，即结论。根据前提与结论的真实性关系，推理可以分为论证推理（若前提真则结论一定真的推理，主要指演绎推理）和合情推理（若前提真则结论似乎真的推理，主要包括归纳推理和类比推理）。演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。因此，演绎推理是一种必然性推理。合情推理是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。即根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
如果说亚里士多德的伟大在于他最先把一种人们长期默认的演绎推理作为一种普遍的思维形式加以肯定，明确表示成三段论的形式，那么波利亚的功绩就在于对合情推理这种受许多随机因素影响的十分模糊的数学推理形式给予了尽可能严格的论述，并从纷乱复杂的具体思维活动中概括出了具有普遍意义的合情推理的模式，使其具有更加规范的形式。
（一）三段式的基本模式
大前提：一切M都是P（或非P）
小前提：S是M；
结论：S是P（或非P）
【案例】2 为什么是素数？
只有 1 和它本身两个因数的数叫做素数。
2 因数只有 1 和 2；
所以 2 是素数。
（二）归纳推理的基本模式
设M＝｛D 1 ，D 2 ，D 3 ，…｝为一类事物，若将对象D具有属性P记为D→P，则归纳的基本模式可用公式表示如下：
D 1 →P
D 2 →P
D 3 →P
……
M→P
【案例】让学生经历从特殊到一般的归纳（选自：苏教版四年级（上册）运算律）
1.从特例中引入规律
讨论主题图中的问题，要求参加跳绳的有多少人，应该怎样列式？（板书：28 ＋ 17 ＝ 45（人）；17 ＋ 28 ＝ 45（人））
观察算式它们有什么相同点？不同在哪里？指出：这两道算式的得数相同，都是求的跳绳的总人数，可以用“＝”号连接。（板书：28 ＋ 17 ＝ 17 ＋ 28）
2.在列举中丰富对规律的认识
你能照样子说出一个这样的等式吗？
生 1：12 ＋ 23 ＝ 23 ＋ 12
生 2：285 ＋ 199 ＝ 199 ＋ 285
生 3：467 ＋ 59 ＝ 59 ＋ 467
……
3.总结提炼中深化对规律的认识
比较：每一组的两个算式都有什么共同的地方？有什么不同的地方？从中我们可以发现什么规律？用自己喜欢的方法把规律表示出来。（提示：可以用符号、字母、文字……）
生 1：○＋□＝□＋○
生 2：a ＋ b ＝ b ＋ a
生 3：一个加数＋另一个加数＝另一个加数＋一个加数
……
小结：两个数相加，交换加数的位置，和不变。这一规律叫做加法的交换律（板书：加法交换律），通常用字母表示：a ＋ b ＝ b ＋ a。
（三）类比推理基本模式
A对象具有属性a，b，c，d
B对象具有属性a，b，c
C对象可能也具有属性d
【案例】复习铺垫，类比引发猜想（选自：苏教版六年级（上册）比的基本性质）
（1）填表
（2）你能很快写出下面各题的得数吗？说说你是怎样想的？
（3）类比：比和除法、分数有着密切的联系。在除法中有商不变的规律，在分数中有分数的基本性质，那么比有没有类似的基本性质？
（4）猜想：引导学生根据商不变的规律和分数的基本性质，猜想“比的基本性质”的内容。
探寻：演绎推理和合情推理的共生
关于合情推理与论证推理的关系，波利亚深刻指出：“这两种推理之间的差异相当大而且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。论证推理（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心仅有的一种推理。”合情推理是论证推理的补充，而论证推理是合情推理的基础。合情推理与论证推理是推理的双翼，是互相补充、相辅相成、缺一不可的。教学中寻求让学生在学习活动中比较完整地经历利用合情推理发现结论、再利用演绎推理说明结论的过程，能够初步确定感悟合情推理和演绎推理的联系与区别，发展推理能力。
【案例】从合情推理向演绎推理的嬗变（选自：苏教版四年级（下册）三角形的内角和）
片断一：试验操作，在合情推理中主动建构
1.研究特殊三角形的内角和
拿出三角板，同桌互相指一指各个角的度数。算一算：三个角的度数和分别是多少？（生 1：90° ＋ 60° ＋30° ＝ 180°；生 2：90° ＋ 45° ＋ 45°＝ 180°）
揭示：我们把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。
总结：从刚才两个三角形内角和的计算中，你发现什么？（这两个三角形都是直角三角形；它们的内角和都是 180°）
2.研究一般三角形内角和
（1）猜一猜：其他三角形的内角和是多少度呢？（生 1：180°；生 2：不一定。……）
（2）操作、验证一般三角形内角和是 180°。
①用测量的方法进行验证
所有三角形的内角和究竟是不是 180°，你能用什么办法来证明，使别人相信呢？（生：先量出每个内角的度数，再加起来。）
让学生小组合作，用量算的方法对锐角、直角、钝角三角形进行验证。
汇报结果：生 1：180°；生 2：175°；生 3：182°；……
②用折拼的方法进行验证
没有得到统一的结果。这个办法不能使人很信服，还有其他办法吗？
讨论：用拼合的办法，就是把三角形的三个内角放在一起，看看能得到一个什么角？
小组合作，对三种不同的三角形进行验证。
汇报验证结果：
生 1：锐角三角形的内角拼在一起是一个平角，所以锐角三角形的内角和是 180°。
生2：直角三角形的内角和也是 180°。
生 3：钝角三角形的内角和还是 180°。
总结：由此，我们可以得出一个怎样的结论？（三角形的内角和是 180°。）
这则教学片断中，教者采用了“质疑→解疑”的教学策略。其实验是策略的核心，是解疑的手段。通过实验，对不同类型的三角形进行实验，从特殊到一般，逐步归纳推导出三角形的内角和是 180°，合情推理在这里得到了很好的运用。然而尽管教者对“量”的方法引导学生进行了合理的思辨，认识到量角中有误差，但对于“拼、折”的方法，学生仍心存疑虑：把三个内角折拼成平角，拼凑有缝隙，也并不能说明拼成的一定是平角！其方法的局限性也并未得以平息。从合情推理向演绎推理的嬗变或许是一种不错的选择。
片断二：思辨探索，在演绎证明中走向深刻
1.对证明方法进行思辨
讨论：为什么用量的方法，算出的三角形的内角和会有多种情况？生 1：量得不准。生 2：量角器量角时有误差。
观察：用折或拼的方法来证明三角形的内角和是 180°，你觉得也存在误差吗？（拼成的平角中间也有缝隙）
总结：需要寻求一种更为科学的、严密的方法来说明三角形的内角和就是 180°。
2.运用论证推理进行证明
（1）证明直角三角形的内角和是 180°
尽管三角形的内角和，我们还不能完全确定，但有一种我们学过的图形内角和，我们一定能够确定，猜一猜是什么图形？（生：是长方形，内角和为 90° × 4＝ 360°）
如果我们沿着长方形的对角线剪开，会得到什么图形？你能算出每个直角三角形的内角和吗？（360° ÷ 2 ＝ 180°）
总结：我们用这种从已知图入手，巧妙进行分割，可以证明任意三角形的内角和都是 180°。
（2）证明锐角、钝角三角形的内角和是 180°
引导：对于锐角三角形和钝角三角形，我们也能从长方形中进行分割吗？如果不行，能不能把它们自身进行分割？（小组讨论交流）
汇报：
将锐角、钝角三角形分别分割成 2 个直角三角形，2 个直角三角形的内角总和为 180° × 2 ＝ 360°，分割时都多出 2 个直角，因此它们的内角和为：90° × 2 ＝180°，360° －180° ＝ 180°。
需要指出，合情推理虽不像演绎推理那样严谨，不能作为数学证明，所得推论也不一定正确，但运用合情推理常能得到与演绎推理相同的结果。这是因为合情推理不是凭空想象，而是建立在观察、实验、分析、归纳、类比等基础上的。因此，合情推理被广泛应用于科学、生产和社会研究之中，是科学发现、发明创造、揭示真理和生产经营决策的有力武器。小学数学教学中既要重视演绎推理，也要重视合情推理。要结合学生的年龄特征，突显合情推理在小学数学学习中的价值。在引导学生经历完整的推理过程中，发展学生的推理能力。
一、基于教学，让学生体验感悟推理的过程
能力的形成和发展绝不等同于知识与技能的获得。推理能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学“懂”了，也不是学“会”了，而是“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因而教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。任何试图把能力“传授”给学生，试图把能力培养“毕其功于一役”的做法，都不可能真正取得好的效果。
把学生推理能力的形成和发展与日常教学紧密相连，可从以下几个方面着手：（1）在知识应用中培养演绎推理能力。学生在应用知识分析解决具体问题时，运用的主要思维方法是演绎推理。教师在教学中应有意识地引导学生通过知识的应用形成演绎推理的能力。即让学生重视解题过程中的推理过程和文字说明，以提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生良好的研究问题的习惯。（2）在新旧知识联系中培养类比推理能力。教师在教学中要将新知识与旧知识进行类比，既可以巩固旧知识，降低新知识的教学难度，起到化难为易的作用，催生学生的认知需求，提升思维的水平。（3）在新知概括总结中培养归纳推理的能力。对知识的总结梳理可以由量变推动质变，拓展学生认知结构。
二、基于经验，让学生形成合理的猜想
数学猜想是建立在一定现有理论和客观事实基础上的逻辑推理和假设，是对要研究的问题经过思维的冲突与加工的活动过程。数学知识也是从一些零散的猜想开始通过归纳、检验、试误等非论证的思维方式而发生发展的，这一过程大致循着“经验→猜想 1（最初的猜想）→……猜想k（更加可靠的猜想）→……猜想n（几乎可信的猜想）”这样一个猜想的产生和不断进化的序列展开。“严格地说，除数学和论证逻辑外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的”合情推理是启发猜想的产生和促进其进化的机制，合理猜想，也为合情推理奏响了前奏序曲。
猜想不是无根之木、无源之水。它是立足于已有知识经验和数学思考基础上的合理推测。从某种意义上说，引导猜想比教学证明更为重要。教师要善于根据猜想形成的过程（如图），结合所学的数学知识，引导学生学会猜想、喜爱猜想、合理猜想。要允许学生出错，学会坚持合理、有价值的猜想，同时善于修正或放弃不合理的数学猜想。通过猜想促进了学生推理能力的提升，实现从具体经验向抽象概括思维的跨越和升华。
三、基于语言，以表达的严谨促进思维形成
思维的条理性体现在善于遵循逻辑顺序分析问题，并能根据充足的依据进行推断。内部的思维条理性可以通过外部的数学语言表达呈现出来，数学语言表达能力的提高又可以推动思维的条理性。学生在推理的过程中，用准确的数学语言表述推理的过程、推理的结果，对于发展数学思维的严谨性和条理性极为有益。对不同的个体而言，运用逻辑推理解决问题的依据、过程、结论往往是相同的，而运用推理解决问题的依据、过程、角度和结论都有可能不同。因此，在引导学生借助推理解决问题时，教师要尊重学生原有的生活经验和知识基础，要尊重学生的独特的思维，鼓励他们大胆说出自己的推理依据、过程以及得到的结论，使其认识更加明确、思维更加完善。
如何让学生在推理的过程中，做到言之有理呢？教师在训练学生说理的过程中，一方面要注意学生语言的准确性、完整性和规范性，要引导学生在学习知识、运用知识的过程中，把头脑中的逻辑思维过程，用数学语言清晰、简洁、准确地表达出来。另一方面，要教给学生回答问题时的一些常用句式，如“因为……所以……”、“先……然后……最后……”、“题目要求……必须先……”、“根据……和……可以……”等，逐步帮助学生形成一种“说话”完整的倾向。在“说”中激发学生学习的需要与兴趣，在“说”中带给学生积极的、深层次的体验，在“说”中推动思维的条理性和严谨性。
四、基于差异，以阶段目标量化能力的形成
推理能力的培养，必须充分考虑学生的身心特征与认知水平，注意其阶段性。如数学课程标准在“学段目标”的表述中，就体现了一定的层次。要求学生在第一学段是“在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳和类比”；第二学段是“能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”。
世界上没有两片完全相同的树叶，一个模子不适合所有的学生。教育不可能彻底消除学生的差异，学生在数学学习上的差异、发展上的不平衡将伴随教育过程的始终。推理能力的培养在准确把握阶段性教学目标的基础上，还要关注同一阶段内，不同学生的差异。不同的学生知识水平、思维方式不同，思维能力的形成存在较大差异，而教师应针对学生差异，采取不同要求，把学生掌握推理的过程变为学生的自觉要求。