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地表径流研究中的一个重要内容是径流的初期冲刷现象，它的基本含义是径流初期阶段携带的污染物负荷明显高于后期阶段（Bertrand et al.，1998），即地表径流冲刷的污染物主要集中在初期径流中。初期径流的处理对于城市雨洪管理和雨水综合利用具有重要意义，科学的、具有可操作性的初期冲刷判断方法可以为城市地表径流污染的治理和控制提供科学的依据。20世纪70 ～ 80年代，人们开始关注并研究重金属、颗粒物及营养元素（总氮、总磷等）的初期冲刷现象。探讨初期冲刷的特征及影响初期冲刷强度的因素，为初期冲刷的研究方法奠定基础（Gupta et al.，1996）。现在对于初期冲刷的研究主要是基于累积径流百分比F与累积污染负荷百分比L之间的关系：
其中：
F ——累积径流百分比；
v （t）——时间t内降雨径流的体积；
V ——总径流量；
Q t ——t时刻的径流强度。
其中：
L ——累积污染负荷百分比；
m （t）——时间t内被冲走的污染负荷；
M ——总污染负荷；
C t ——t时刻的污染物浓度。
如图2-2所示，以累积径流百分比F为横轴，累积污染负荷百分比L为纵轴，作L-F曲线，45°线表示在整个径流过程中污染物负荷均匀分布。当数据点位于45°线以上时，表明产生了初期冲刷效应，位于45°线以下时，表明没有产生初期冲刷效应。数据点偏离45°线的程度可以用来衡量初期冲刷效应的强弱（Gerger，1987）。
图2-2 累积污染负荷和累积径流百分比示意图
Figure 2-2 Illustration of dimensionless cumulative loadings and volume curve
以L-F曲线为基础，很多学者从定量的角度修订了“初期冲刷”的定义，不同学者对初期冲刷定义持不同意见。Wanielista和Yousef（1993）建议定义为25％的初期径流带走50％的污染物。Vorreriter和Hickey（1994）提出25％的初期径流冲出80％的污染物。Gupta和Saul（1996）提出一个较为复杂的定义，其实际内容即52％的初期径流带走79％的污染物。美国EPA也提出了一个初始冲刷的定义，它是对两个污染指标的浓度直接进行比较，并且引入了一个数量参数来计算和比较初始冲刷（US EPA，1993）。Bertrand等（1998）建议初期冲刷定义为前30％的径流至少带走80％的污染，但是Lee等认为Bertrand的“30 /80初期冲刷”发生的可能性只有1％（Lee et al，2002）。不同学者的定义千差万别，均根据特定的研究区域采样结果提出，与所研究的污染物的种类、降雨条件、下垫面类型等诸多因素相关，缺乏可比性和普适性。Saget等（1996）和Bertrand等（1998）发现，累积径流百分比（F）与累积污染负荷百分比（L）之间存在定量的关系。L-F曲线可以用幂函数模型 L ＝ F b 来拟合， b 代表初期冲刷系数。对幂函数模型稍作变化可得
根据实测数据对 L 和 F 进行线性回归，可以求出 b 值（ b 的范围是 b ＞0）。当 b ＞ 1时没有初期冲刷发生，当 b ＜ 1时有初期冲刷现象， b 值越小，初期冲刷越明显。降雨径流的初期冲刷强度可以用初期冲刷系数 b 来衡量。对于不同的初期冲刷定义，都可以计算出其对应的 b 值，这种方法增加了不同定义之间的可比性。Wanielista和Yousef提出的25 /50初期冲刷对应的 b 值为0. 50；Vorreriter和Hickey提出的25 /80初期冲刷对应 b 值为0. 16；Gupta和Saul提出的52 /79初期冲刷对应 b 值为0. 36；Bertrand提出的30 /80初期冲刷对应 b 值为0. 185。所以，学者们对于初期冲刷定义的争议，可以归结为对初期冲刷系数 b 的大小界定。Bertrand等（1998）指出初期冲刷定义必须包含两个关键信息：①能清晰准确地对初期冲刷现象进行描述和定量；②在实际操作中，有利于拦截初期污染物。
应用以上的基本方法和理论，本书中对地表径流初期冲刷模型的建立和分析在第十一章中进行详细介绍。
在地表径流水质模型研究中，因为模型方程的参数很多是由经验得到的，不具有严格的物理意义，参数的估值比较困难，通常是根据最小二乘原理来拟合曲线模型参数的最佳优化值，由此而产生了各种优化算法，如最速下降法、高斯-牛顿法、Levenberg-Marquardt法等。大量计算实践表明，最速下降法求解稳定性好，但收敛速度太慢，有时失去实用价值；高斯-牛顿法求解速度快，但在解线性方程组的过程中容易出现奇异矩阵和非正定矩阵，使迭代无法继续进行，并且高斯-牛顿法对模型参数初值敏感，初值设置不当，使迭代无法收敛。在这些方法中，Levenberg-Marquardt（L-M）优化算法是一种应用广泛的曲线拟合算法，该算法是高斯-牛顿法的改进形式，引入阻尼因子，并在迭代过程中动态调整阻尼因子，既有高斯-牛顿法的局部特性，又具有最速下降法的全局特性，在收敛速度和训练精度方面明显优越于其他方法，求解过程快速稳定（刘钦圣，1989；杨华中等，1996）。L-M算法已成为非线性最小二乘问题的标准算法，在各领域得到广泛应用（周小林等，2007；杨敏，2007；高艳萍等，2007）。本研究中采用L-M算法作为地表径流污染累积-冲刷模型的参数估值方法。
本节中，以下文字引用周小林等人的文章（周小林等，2007），以一元函数为例来说明L-M法的原理。设需参数估值的模型为一元函数
y
＝
f
（
x
；
α
），由
m
个参数组成参数向量
。已知有
n
组实测数据：（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），（
x
3
，
y
3
），…，（
x
n
，
y
n
）。则计算模型参数的问题可以概括为下式：
对于单次测量 σ i ＝ 1，通过求出残差平方和 RE （ α ）的极小值点来获取模型参数向量 α 。L-M算法迭代表达式为：
其中， H ＝∇ 2 RE （ α k ）是Hessian矩阵；∇ RE （ α k ）是RE（α k ）对参数向量α k 偏微分的Jacobian矩阵； I 是单位矩阵， k 是迭代次数；用Hessian矩阵H的对角矩阵代替单位矩阵 I ，可以提高计算结果的精度。因此，公式（2-6）可表示为：
公式（2-6）和（2-7）中的 μ 是阻尼因子，当 RE （ α k ）减小时， μ 相应减小，当 μ →0时，公式（2-7）近似为二阶局部收敛的高斯-牛顿法，即当 RE （ α k ）接近最小值时，转换到高斯-牛顿法；当 RE （ α k ）增加时， μ 相应增加，当 μ →∞时，公式（2-7）近似于线性全局收敛的最速下降法，即在 RE （ α k ）远离最小值时，运用最速下降法。具体算法如下：
（1）给定初值 α 0 、 μ ＞ 0、ε＞ 0及 k ＝ 0；
（2）计算 RE （ α k ）；
（3）求线性方程组（2-7）的解（ α k ＋ 1- α k ）；
（4）若 RE （ α k ＋ 1）≥ RE （ α k ），则将 μ 增大，返回步骤（3）；反之，继续步骤（5）；
（5）将 μ 缩小，使 k ＝ k ＋ 1；
（6）判断｜｜ α k ＋ 1- α k ｜｜＜ ε ，若满足结束迭代，否则返回步骤（3）。
多次迭代的目的是减小为了得到公式（2-7）中的采取的近似计算所带来的误差，以及动态调整阻尼因子 μ 使每次迭代的残差平方和∇ RE （ α k ）都有所下降。可见只要选择适当的阻尼因子即可兼顾最速下降法和高斯-牛顿法的优点，使迭代收敛快，求解过程稳定。
模型参数的敏感性分析包括局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析检验单个参数的变化对模型结果的影响程度；全局敏感性分析则检验多个参数的变化对模型运行结果的影响，并分析每一个参数以及参数之间相互作用对模型结果的影响。局部敏感性分析方法简单、计算量较小、应用较广。全局敏感性分析考虑了多参数间的综合作用，有利于得到整个参数集的最优解，但是其计算量巨大，很难适用于参数较多的复杂模型。本书采用Morris筛选法对地表径流污染累积-冲刷模型进行参数敏感性分析。
Morris筛选法及其修正方法是传统的参数敏感性分析方法，目前应用较广。该方法选取模型中的待分析参数，将其余参数值固定不变，在待分析参数最佳估计值附近进行“微扰动”，计算这一波动所导致的模型输出的变化率，来判断参数变化对输出值的影响程度。修正的Morris筛选法采用自变量以固定步长变化，敏感性判别因子取Morris系数多个平均值。
Morris筛选法的分析原理为：设某一模型输出 Y 为其参数集（ x 1 ， x 2 … x n ）的函数，对其中任意一个参数 x i ， i ∈［1， n ］进行参数敏感度分析时，固定其他参数取值，改变参数 x i 取值变化量Δ x i ，得到模型输出 Y 的变化量Δ Y 。本文模型参数敏感性通过计算敏感性系数 S i 来比较
敏感性分析并不能全面考查参数的不确定性，需要应用概率分析方法对模型的不确定性进行分析。在各种概率分析法中，Monte Carlo法是进行模型不确定性分析最常用的方法。其主要原理是从输入参数的概率密度函数中随机取样，多次运行模型得到模型输出的概率统计分布。传统的Monte Carlo方法的应用包括四个步骤：①获取输入参数的统计分布；②从这些分布中随机取样；③使用随机选取的参数系列进行重复模型模拟；④对模型输出结果进行统计分析。
Monte Carlo法及其衍生的方法在环境模型的不确定性分析中得到广泛的应用。Monte Carlo法的主要缺点在于它需要大量的取样并进行多次模型运行，对于计算量较大的模型，这种方法需要大量的时间和资源。此外Monte Carlo法对于各变量不确定性之间相互作用的复杂性和影响没有办法完整地阐释。由于本研究建立的地表径流累积-冲刷模型各变量的物理意义和相互作用比较简单明晰，因此可以用Monte Carlo法进行模型不确定性分析，根据模型各输入变量的概率分布来确定模型输出的概率分布，最终用概率的形式来表达模拟结果的不确定性。
在我国，城市地表径流一般直接排入受纳水体，径流冲刷城市地表而携带的多环芳烃等持久性有毒污染物对城市水生生态环境构成严重威胁。更重要的是，雨水径流的综合利用是北方半干旱和干旱地区水资源利用的一个重要部分，雨水径流综合利用的用途一般包括灌溉、冲洗、景观用水等方面，因此了解径流污染的生态风险对于雨水资源再利用的安全性也有指导意义。作为对污染物生态影响的一种直观表征，生态环境风险分析在现代环境管理体系中越来越受到人们的重视。本研究尝试在城市地表径流多环芳烃污染研究中引入生态风险的分析，更直观地了解城市地表径流PAHs污染的生态效应。可以为北京以及类似的半干旱缺水城市中雨水径流综合利用的行动计划和管理目标提供生态风险方面的参考。
本书根据多环芳烃对典型水生物种的毒理数据，以浓度-响应定量关系的基本形式为基础，结合降雨径流污染暴发性和间隙性的特点，应用文献中包含时间变化因素的风险评价模型，分析城市道路和停车场地表径流中多环芳烃对水生生物的危害。用更直观、合理的概率分布表征风险，为城市水环境非点源多环芳烃污染治理提供科学依据。具体的方法和应用分析在第十章中进行详细介绍。