七、主成分分析法财务评价方法的改进
——原始数据的无量纲化方法的改进

主成分分析评价方法的出发点是评价指标的协方差矩阵。由于协方差容量受指标的量纲和数量级的影响，因此，要用z- score公式对原始数据进行标准化处理。标准化使协方差矩阵变成了相关系数矩阵，但在消除量纲和数量级影响的同时，却丢失了各指标变异程度上的差异信息。因为原始数据中包含的信息由两部分组成：一部分是各指标变异程度上的差异信息，这由各指标的方差大小来反映；另一部分是指标间的相互影响程度上的相关信息，这由相关系数矩阵体现出来。标准化使各指标的方差变成 1，这就体现不出各指标变异程度上的差异。因此，从标准化后的数据中提取的主成分，实际上只包含了各指标间的相互影响这部分信息，而不能反映出各指标变异程度上的差异信息，即这种主成分不能准确反映原始数据所包含的全部信息。

另外，当指标之间相关性不大时，每一个主成分所提取的原始指标的信息常常是很少的，这时，为了满足累计方差贡献率不低于某一阈值（比如 85％），就有可能选取较多的主成分，此时的主成分分析的降维作用不明显，这是传统主成分分析的一个不足之处。

为了能够反映原始数据的全部信息，本章中我们提出用均值化方法来消除指标的量纲和数量级的影响，从均值化后的数据中提取的主成分能充分体现出原始数据所包含的全部信息。

设有n个被评价对象，每个对象用p个评价指标来描述，那么原始数据为（x _ij ） _nxp 。各指标的均值为：

所谓均值化，就是用各指标的均值 去除它们相应的原始数据，即 。

均值化后，数据的协方差矩阵V ＝（v _ij ）的元素为：

由 式可知，均值化后各指标的均值为 1，由此可得：

式中， 为原始数据的协方差。

当i ＝ j时， ，因此， 。

即均值化后数据的协方差矩阵的对角元素是各指标的变异系数 的平方，它反映了各指标变异程度上的差异。未均值化前，原始指标的相互影响程度由相关系数r _ij 来反映，其计算公式是： 。而均值化后的相关系数r _ij 应按如下公式计算： 将 式代入上式可知： 。这也就是说，均值化处理并不改变指标间的相关系数，相关系数矩阵的全部信息将在相应的协方差矩阵中得到反映。

由以上分析可知，经过均值化处理后的协方差矩阵不仅消除了指标量纲和数量级的影响，而且能全面反映原始数据所包含的两部分信息。因此，在用主成分分析方法进行综合评价时，最好应用均值化进行无量纲化处理。 JqNPvZLmGIWXHJ7W5fP684id5GLCaviwoaAYmbK8ZtdSsGlj7oG/1s3rN31ZtRV2