§ 1.3 定理的变形与推广

1．定理的变形

若 a 、 b 、 c 为直角三角形的三边， c 为斜边，则

2．定理的推广

（1）将边上图形一般化，可得

定理1.1 在直角三角形的勾股弦上分别向外作任意相似的图形，则弦上图形的面积等于勾和股上图形的面积之和（图1-13）.

证明 设弦上图形的面积为 S ₁ ，勾股上图形面积分别为 S ₂ 、 S ₃ ，则

在欧几里得《几何原本》第六篇就有上述推广的记载.

（2）将直角三角形向任意三角形推广，可得

定理1.2 若 a 、 b 、 c 分别表示△ ABC 的三条边长，∠ C 为边 c 的对角，则

这个定理称为余弦定理，当∠ C ＝90 ° 时，即为勾股定理.

定理1.3 在任意三角形的大边上向内侧作平行四边形，使它的另两顶点位于三角形外，再在三角形的另两边上分别作平行四边形，使与三角形两边分别平行的边过大边上所作平行四边形的另两个顶点.则大边上平行四边形的面积等于另两边上平行四边形面积之和.

证明 如图1-14所示，依题设，则有

若从五边形 ABB′C′A′ 减去△ A′B′C′ 的面积，则得 S _ABB′A′ ；若从五边形 ABB′C′A′ 减去△ ABC 的面积，则得

故有

命题得证.

定理1.3是希腊数学家帕普斯（Pappus，约公元300年发现的，并载于他的《数学汇编》第四卷.

（3）把三角形向多边形推广，可得

定理1.4 点 P 是凸多边形， A ₁ A ₂ … A _n 所在平面上任意一点，从点 P 分别向各边作垂线，垂足为 B ₁ 、 B ₂ … B _n ，则 （图1-15）.

证明

特别地，对于三角形当点 P 在 A 点时（图1-16），有

当 C 、 D 重合时即为勾股定理.

（4）把三角形向平行四边形推广，可得

定理1.5 （广义勾股定理）平行四边形对角线的平方和等于它的四边的平方和，即等于相邻两边平方和的二倍.

证明 由定理1.2，有

因为∠ ABC ＋∠ DAB ＝180 ° ，

所以

故

这就是有名的阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262～前190年）定理（见第九章）.

（5）向空间推广，可得

定理1.6 设长方体的长、宽、高及对角线的长分别为 p 、 q 、 r 及 d ，则

证明 如图1-18所设，依题设，有 BC ⊥ AC ， CD ⊥ DA ，

所以

定理1.7 在直四面体 O - ABC 中，∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COA ＝90 ° ， S 是顶点 O 所对的面的面积， S ₁ 、 S ₂ 、 S ₃ 分别为侧面△ OAB 、△ OAC 、△ OBC 的面积，则

证明 如图1-19，作 OD ⊥ BC 于 D ，依立体几何知识知， AD ⊥ BC ，

从而

同样，还可以将勾股定理推广到 n 维空间. 9Ss8SJ+/Zn4RJbYcnWErRHCOtLwkSOKDiZHz7qDClrzRtATFcrdPqkGA1MDSoMb+