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几千年来，人们给出了勾股定理的各种不同的证明，有人统计，现在世界上已找到它的证明方法有400多种.仅1940年，由鲁米斯（E.S.Loomis）搜集整理的《毕达哥拉斯定理》一书就给出了370种不同的证明.
我们的祖先对勾股定理作过较深入的研究.公元3世纪三国时期数学家赵爽（字君卿）在对《周髀算经》作注时给出一张“弦图”（图1-2），并附“勾股圆方图说”一段文字：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.案：弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘之为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里第一句话是对勾股定理的一般陈述，“案”以下的文字是对“弦图”之构造的解说，也是对勾股定理的一个完整的证明.
图1-2
赵爽的“弦图”已失传，现在能看到的采自上海图书馆宋刻的《周髀算经》（图1-3）.对于赵爽的“弦图”及文字，钱宝琮先生解释为：“实”指面积，把图中（△ ABC 等）四个直角三角形涂上朱色，其面积叫做“朱实”，中间的正方形（ CDEF ）涂上黄色，其面积叫做“中黄实”.于是上文用算式表示就是
《周髀算经》（宋刻本）弦图上海图书馆藏
图1-3
即
李文林先生则运用面积出入相补法对“弦图”进行解读，他认为，钱先生的解释：即从“2 ab ＋（ b - a ） 2 ＝ c 2 化简为 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ”，这种代数运算，在当时还没有基础.根据吴文俊先生“古证复原”原则，“面积出入相补法”的解释可能更接近事实.
“弦图”作为我国古代数学成就的代表得到公认，并把它作为2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽（图1-4）.
图1-4
赵爽的“弦图”开了面积出入相补证法的先河，至今还被采用.
还有三国时期刘徽、清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳等，创造了许多不同的面积证法，下面将他们研究的图形录绘若干幅，如图1-5，从中我们可领会他们研究的神妙.
图1-5
现存勾股定理最早的证明出自欧几里得（Euclid，约公元前330～前275年）的《几何原本》命题47．他把勾股定理换成了另一种形式：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和”.其证法是（如图1-6）
图1-6
先证
从而
同理
上述两式相加即得
但上述证法不是最简的，最简的证法是利用相似三角形的理论证明.
如图1-7，作直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高 CD ，则△ ABC ∽△ ACD ∽△ CBD ，
图1-7
有 a 2 ＝ qc ， b 2 ＝ pc ，
所以 a 2 ＋ b 2 ＝ qc ＋ pc ＝（ q ＋ p ） c ＝ c 2 .
值得一提的是在多达400多种的证法之中，居然有两种证法一个出自美国第二十届总统加菲尔德（Garfield，1831～1881年）之手，另一个是由身为国王的印度数学家婆什迦罗（Bhaskara，1114～1185年）给出.
1876年4月，加菲尔德在波士顿周刊《新英格兰教育杂志》上发表了勾股定理的一个别开生面的证法.1881年他当选为总统，于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段轶事了.
加菲尔德的证法确实十分干净利落.如图1-8，在直角△ ABC 的斜边上作等腰直角△ BCE ，过 E 作 ED ⊥ AC 交于 D ，则有△ ABC ≌△ DCE .
图1-8
设梯形
ABED
面积为
S
，则
S
＝
（
a
＋
b
）
2
＝
（
a
2
＋2
ab
＋
b
2
），
两式比较即得 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 .
婆什迦罗的证明也很奇妙：
如图1-9（ a ）是由四个直角三角形和一个正方形构成的一个边长为 c 的大正方形，因而其面积为 c 2 ，中间的小正方形的边长是 b - a .把（ a ）中的四个直角三角形拼成两个长方形，再与小正方形拼在一起，得到图（ b ），在该图中引一铅垂虚线，标上各边的长，适当简化后恰好成为图（ c ）所示的由边长分别为 a 、 b 的两个正方形组成.因此有 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ，勾股定理得证.
图1-9
至今，还不断有勾股定理新的证法出现.下面选举两例：
新证一 （见美国《数学教师》1990年第四期）如图1-10，以 B 为圆心，以 BA 为半径作圆，交 BC 所在直线于 D 、 E ，交 AC 延长线于 F ，则有
图1-10
由相交弦定理，得
新证二 （张劲松，2009年《数学通报》4期）如图1-11，在 AB 上截取 BD ＝ a ，延长 AB 至 E ，使得 BE ＝ a ，并联结 CD 、 CE ，则∠ DCE ＝90 ° ，得∠ ACD ＝∠ BCE ＝∠ BEC .由此，△ ACD ∽△ ACE ，故
图1-11
勾股定理的逆命题成立，而且应用也很广泛.
勾股定理的逆定理 在△ ABC 中，若 AC 2 ＋ BC 2 ＝ AB 2 ，则∠ C 为直角.
证明 如图1-12，过 C 作 AB 的垂线，垂足为为 D .
图1-12
在 Rt △ ADC 与 Rt △ CDB 中，由勾股定理有
所以
已知 AC 2 ＋ BC 2 ＝ AB 2 ，
所以
故得
所以
即△ ABC 的∠ C 为直角.