§ 1.1 定理及简史

勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

若设 a 、 b 、 c 为直角三角形的三边， c 为斜边，则

我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理.

勾股定理是初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理.它的重要意义表现在哪些方面呢？

1．它的证明是论证几何的发端；

2．它是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；

3．它导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

4．勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；

5．它是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值.

这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用.1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首.

今天世界上许多科学家都在试探寻找与其他星球“人”交流的“语言”，我国著名数学家华罗庚曾建议，发射勾股定理的图形，如果宇宙“人”也拥有文明的话，他们应该能识别这种“语言”.可见勾股定理的重要意义.

勾股定理从被发现至今已有5000多年的历史，5000多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理.古埃及人在建筑金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一，在4000多年前，我国人民就应用了这一定理，据我国一部古老的算书《周髀算经》（约西汉时代，公元前100多年的作品）记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“勾广三，股修四，径隅五”.这句话的意思就是：在直角三角形中，若勾长为3，股长为4，则弦长为5．这就是人们常说的“勾三，股四、弦五”，这当然是勾股定理的特殊情形.但这本书中同时还记载有另一位中国学者陈子（公元前7～前6世纪）与荣方在讨论测量问题时说的一段话：“若求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（图1-1）.

这里给出的是任意直角三角形三边间的关系.因此，也有人主张把勾股定理称为“陈子定理”.

2000多年前，由于希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前585～前497年）学派也发现了这条定理，所以希腊人把它叫毕达哥拉斯定理.相传当时的毕达哥拉斯学派发现，若 m 为大于1的奇数，则 m 、 、便是一个可构成直角三角形三边的三元数组.果真如此，可见这个学派当时是通晓勾股定理的.但这一学派内部有一规定，就是把一切发明都归功于学派的头领，而且常常秘而不宣.据传说，发现这个定理的时候，他们还杀了100头牛酬谢供奉神灵，表示庆贺.因此，这个定理也叫“百牛定理”.至于毕达哥拉斯学派是否证明了这一定理，数学史界有两种不同的观点，一种意见认为证明过，理由如前所述..另一种意见则认为证明勾股定理要用到相似形理论，而当时毕达哥拉斯学派没有建立完整的相似理论，因此他们没有证明这一定理.

勾股定理在法国和比利时又叫“驴桥定理”，这自然也有它的来历.

人类对勾股定理的认识经历了一个从特殊到一般的过程，而且在世界上很多地区的现存文献中都有记载，所以很难区分这个定理是谁最先发现的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派首先发现的，因此，国外称它为毕达哥拉斯定理.历史文献确凿地证明，商高知道特殊情况下的勾股定理比毕达哥拉斯学派至少要早五六个世纪，而陈子掌握普遍性的勾股定理的时间要比毕达哥拉斯早一二百年，这就是我们把它称为“勾股定理”、“商高定理”或“陈子定理”的理由. NUGTyRdPTqMiTO0Q1chJEKlmEQHmmemdhPgTKS4EK61ZPWmPlnr25Qr1t67tARtQ