§ 6.2 公式的证明

首先我们介绍秦九韶本人对“三斜求积公式”的证法.

证明1 如图6-1（ a ），作高 AD ＝ h ，设 BD ＝ m ， DC ＝ n .

由 S ＝ ah （古代称为圭田求积法）

自乘得

由勾股定理

将②代入①得

又依②得

从图6-1（ b ），由演段法得知

以⑤代入④得

代入③得

所以

即“三斜求积公式”得证.

下面我们来证明秦九韶-海伦公式.

证法2 同证法1所设，有

⑥-⑦得

于是有，

所以 S ＝ ah ＝ .

证法3 因为cos C ＝ ，

所以

化简整理得

证法4 如图6-2，设 O ， O′ 分别为△ ABC 的内心与旁心， r 、 R 是☉ O ，☉ O′ 的半径， D 、 E 是切点，易知 AE ＝ p ， AD ＝ p - a ， DB ＝ p - b ， BE ＝ p - c ，由于∠ OBO′ ＝90 ° ，

所以 Rt △ BOD ∽ Rt △ O′BE ，

所以

即

得

又△ AOD ∽△ AO′E ，

因为

即

由⑧、⑨可得

所以

证法5 如图6-3所设，☉ O 为△ ABC 的内切圆，则

因为

所以

即有

所以

所以

证法6 如图6-3，

因为

所以

所以

所以

当然，本公式还有行列式证法、复数证法等其他方法. 3UugqjjEGekMeOrq4oTMSTnoZCveuL86TIKk4rQZSOg7vn9zJ15AD1Bt/nSjEzwE