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首先我们介绍秦九韶本人对“三斜求积公式”的证法.
证明1 如图6-1（ a ），作高 AD ＝ h ，设 BD ＝ m ， DC ＝ n .
图6-1
由
S
＝
ah
（古代称为圭田求积法）
自乘得
由勾股定理
将②代入①得
又依②得
从图6-1（ b ），由演段法得知
以⑤代入④得
代入③得
所以
即“三斜求积公式”得证.
下面我们来证明秦九韶-海伦公式.
证法2 同证法1所设，有
⑥-⑦得
于是有，
所以
S
＝
ah
＝
.
证法3
因为cos
C
＝
，
所以
化简整理得
证法4 如图6-2，设 O ， O′ 分别为△ ABC 的内心与旁心， r 、 R 是☉ O ，☉ O′ 的半径， D 、 E 是切点，易知 AE ＝ p ， AD ＝ p - a ， DB ＝ p - b ， BE ＝ p - c ，由于∠ OBO′ ＝90 ° ，
图6-2
所以 Rt △ BOD ∽ Rt △ O′BE ，
所以
即
得
又△ AOD ∽△ AO′E ，
因为
即
由⑧、⑨可得
所以
证法5 如图6-3所设，☉ O 为△ ABC 的内切圆，则
图6-3
因为
所以
即有
所以
所以
证法6 如图6-3，
因为
所以
所以
所以
当然，本公式还有行列式证法、复数证法等其他方法.