§ 6.1 公式及简史

秦九韶公式 设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ，则三角形面积

这就是著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.

秦九韶（字道古，公元1202～1261年），南宋数学家，与李冶、杨辉、朱世杰齐名，同为我国数学黄金时代宋元时期的四大数学家.

秦九韶在其数学巨著《数书九章》卷五中，所述的第二题是：“问沙田一段，有三斜（三角形三边），其小斜一十三（小边 c ＝13）里，中斜一十四（中边 b ＝14）里，大斜一十五（大边 a ＝15）里，里法三百步（每300步1里）.欲知为田几何？”“答曰：田积三百一十五顷（每100亩为1顷）.”

“术曰：以少广求之，以小斜幂（ c ² ）并大斜幂（加 a ² ）减中斜幂（ b ² ），余半之（除以2），自乘（平方）于上；以小斜幂乘大斜幂减上（用 c ² a ² 减去上式），余四约之（除以4），为实；一为从隅，开平方得积.”

对于方程 px ² ＝ q ，秦九韶将 q 称为实， p 称为隅.“一为从隅”即 p ＝1．其求法即为

这就是秦九韶的三斜求积公式.

实际上这个公式中的三斜具有“对称性”， a 、 b 、 c 只要分别表示三边即可，不一定专指大斜、中斜、小斜.

若令 p ＝ （ a ＋ b ＋ c ），将上式 S ² 右端作如下变形：

得

上述公式西方称为海伦（见第二章）公式，相传这个公式是海伦发现的.其实早在古希腊时，阿基米德（Archimedes，公元前287～前212年）就已知道了这一公式，海伦在他的著作《量度》一书中给出了这一公式的一个证明，遂以得名.

在长期封闭的中国，秦九韶的“三斜求积公式”是完全独立发现的，海伦公式是秦九韶公式的一个推论，因此我们应称（*）式为秦九韶-海伦公式. jX8ObcdhuKjf6uKsccPfBmTu5Xivqz1t3fyNaoqlglbP6npAXuxEZ7aFrft7ez4K