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用塞瓦定理证三线共点问题有特殊效应.
例5.1 证明三角形的三条高交于一点.
证明 如图5-4，因为 α 1 ＝ γ 2 ， β 1 ＝ α 2 ， γ 1 ＝ β 2 ，所以有
图5-4
又 AC 、 BC 相交，故其垂线 AD 、 BE 不平行，由定理5.2，有 AD 、 BE 、 CF 共点.
例5.2 证明三角形三内角平分线交于一点.
证明 如图5-5，因 α 1 ＝ α 2 、 β 1 ＝ β 2 、 γ 1 ＝ γ 2 ，所以
图5-5
故三角平分线 AD 、 BE 、 CF 交于一点.
例5.3 设点 D 、 E 、 F 是△ ABC 的内切圆或旁切圆在边 BC 、 CA 、 AB 或延长线上的切点，则 AD 、 BE 、 CF 共点.
图5-6
证明 如图5-6，据切线长定理，有 EA ＝ AF 、 FB ＝ BD 、 DC ＝ CE ，所以
故 AD 、 BE 、 CF 共点.
例5.4 △ ABC 的三个旁切圆分别与边 BC 、 CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ，则 AD 、 BE 、 CF 共点（图5-7）.
图5-7
证明
设△
ABC
三边为
a
、
b
、
c
，
p
＝
（
a
＋
b
＋
c
）.
因为
有
所以 AD 、 BE 、 CF 共点.
例5.5 通过三角形顶点并分（内分）对边成为与邻边平方成比例的两部分的直线交于一点.
证明 （如图5-8）设三边为 a 、 b 、 c .
图5-8
因为
·
·
＝
·
·
＝1.
所以 AD 、 BE 、 CF 共点.
1．求证三角形三条中线交于一点.
2．平行于△ ABC 的边 BC 的直线交 AB 、 AC 于 D 、 E ， BE 、 CD 交于 S .则 AS 的延长线必过 BC 边的中点 F .
3． S 为△ ABC 的中线 AF 上的任意一点， BS 交 AC 于 E ， CS 交 AB 于 D ，求证 DE ∥ BC .
4．已知
D
、
E
、
F
分别为△
ABC
的
BC
、
CA
、
AB
边上的点，且
＝2.
AD
与
BE
、
CF
交于
P
、
Q
，
BE
交
CF
于
R
，问△
ABC
的面积是△
PQR
面积的几倍？