§ 5.4 定理的应用

用塞瓦定理证三线共点问题有特殊效应.

例5.1 证明三角形的三条高交于一点.

证明 如图5-4，因为 α ₁ ＝ γ ₂ ， β ₁ ＝ α ₂ ， γ ₁ ＝ β ₂ ，所以有

又 AC 、 BC 相交，故其垂线 AD 、 BE 不平行，由定理5.2，有 AD 、 BE 、 CF 共点.

例5.2 证明三角形三内角平分线交于一点.

证明 如图5-5，因 α ₁ ＝ α ₂ 、 β ₁ ＝ β ₂ 、 γ ₁ ＝ γ ₂ ，所以

故三角平分线 AD 、 BE 、 CF 交于一点.

例5.3 设点 D 、 E 、 F 是△ ABC 的内切圆或旁切圆在边 BC 、 CA 、 AB 或延长线上的切点，则 AD 、 BE 、 CF 共点.

证明 如图5-6，据切线长定理，有 EA ＝ AF 、 FB ＝ BD 、 DC ＝ CE ，所以

故 AD 、 BE 、 CF 共点.

例5.4 △ ABC 的三个旁切圆分别与边 BC 、 CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ，则 AD 、 BE 、 CF 共点（图5-7）.

证明 设△ ABC 三边为 a 、 b 、 c ， p ＝ （ a ＋ b ＋ c ）.

因为

有

所以 AD 、 BE 、 CF 共点.

例5.5 通过三角形顶点并分（内分）对边成为与邻边平方成比例的两部分的直线交于一点.

证明 （如图5-8）设三边为 a 、 b 、 c .

因为 · · ＝ · · ＝1.

所以 AD 、 BE 、 CF 共点.

练习与思考

1．求证三角形三条中线交于一点.

2．平行于△ ABC 的边 BC 的直线交 AB 、 AC 于 D 、 E ， BE 、 CD 交于 S .则 AS 的延长线必过 BC 边的中点 F .

3． S 为△ ABC 的中线 AF 上的任意一点， BS 交 AC 于 E ， CS 交 AB 于 D ，求证 DE ∥ BC .

4．已知 D 、 E 、 F 分别为△ ABC 的 BC 、 CA 、 AB 边上的点，且 ＝2. AD 与 BE 、 CF 交于 P 、 Q ， BE 交 CF 于 R ，问△ ABC 的面积是△ PQR 面积的几倍？ VvrmpneqnklTbnPVtBpV3yxySQ4vZb4aOgQn+dqLQYSneE3re7Y+NErVCr29M5Ba