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定理5.1 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 三边 BC 、 AC 、 AB 上的点， AD 与 AB 、 AC 的夹角分别为 α 1 、 α 2 ， BE 与 BC 、 BA 的夹角分别为 β 1 、 β 2 ， CF 与 CA 、 CB 的夹角分别为 γ 1 、 γ 2 .若 AD 、 BE 、 CF 平行或共点，则
证明 如图5-2所示，依塞瓦定理及正弦定理有
图5-2
故定理5.1与塞瓦定理是等价的，所以还有逆命题成立.
定理5.2
若
D
、
E
、
F
分别是△
ABC
三边
BC
、
CA
、
AB
上的点，
AD
与
AB
、
AC
的夹角分别为
α
1
、
α
2
，
BE
与
BC
、
BA
的夹角分别为
β
1
、
β
2
，
CF
与
CA
、
CB
的夹角分别为
γ
1
、
γ
2
.若
＝1，则
AD
、
BE
、
CF
平行或共点.
定理5.3
若
D
、
E
、
F
分别为△
ABC
三边
BC
、
CA
、
AB
上的点，
＝
λ
1
，
＝
λ
2
，
＝
λ
3
，
AD
、
BE
、
CF
相交得△
PQR
（图5-3），则
图5-3
证明 因为 CRF 截△ ABD .由梅内劳斯定理有
所以
同理有
从而
所以
显然当 AD 、 BE 、 CF 交于一点时， S △ PQR ＝0.有 λ 1 λ 2 λ 3 ＝1，为塞瓦定理（三线共点的情形）；反之，由 λ 1 λ 2 λ 3 ＝1（因 AD 、 BE 、 CF 必两两相交），又导出 S △ PQR ＝0，即三线共点.