§ 5.3 定理的变形与推广

1．将塞瓦定理中的线段换为角度

定理5.1 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 三边 BC 、 AC 、 AB 上的点， AD 与 AB 、 AC 的夹角分别为 α ₁ 、 α ₂ ， BE 与 BC 、 BA 的夹角分别为 β ₁ 、 β ₂ ， CF 与 CA 、 CB 的夹角分别为 γ ₁ 、 γ ₂ .若 AD 、 BE 、 CF 平行或共点，则

证明 如图5-2所示，依塞瓦定理及正弦定理有

故定理5.1与塞瓦定理是等价的，所以还有逆命题成立.

定理5.2 若 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 三边 BC 、 CA 、 AB 上的点， AD 与 AB 、 AC 的夹角分别为 α ₁ 、 α ₂ ， BE 与 BC 、 BA 的夹角分别为 β ₁ 、 β ₂ ， CF 与 CA 、 CB 的夹角分别为 γ ₁ 、 γ ₂ .若 ＝1，则 AD 、 BE 、 CF 平行或共点.

2．将三线共点或平行推广为两两相交

定理5.3 若 D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边 BC 、 CA 、 AB 上的点， ＝ λ ₁ ， ＝ λ ₂ ， ＝ λ ₃ ， AD 、 BE 、 CF 相交得△ PQR （图5-3），则

证明 因为 CRF 截△ ABD .由梅内劳斯定理有

所以

同理有

从而

所以

显然当 AD 、 BE 、 CF 交于一点时， S _{△ PQR} ＝0.有 λ ₁ λ ₂ λ ₃ ＝1，为塞瓦定理（三线共点的情形）；反之，由 λ ₁ λ ₂ λ ₃ ＝1（因 AD 、 BE 、 CF 必两两相交），又导出 S _{△ PQR} ＝0，即三线共点. PeJ3AjDISs11ce+XKoT9FuvNHSXVR65KWvoy1obS7bMNHpZ8OUnwsCLs9cAltLpo