§ 5.2 定理的证明

证明 若 AD//BE//CF ，如图5-1（ a ），则

若 AD 、 BE 、 CF 交于点 O ，如图5-1（ b ）

因为 ＝ ＝ ＝ ＝

同理 ＝ ， ＝

所以 · · ＝ · · ＝1.

塞瓦定理的逆命题也成立.

逆定理 若 D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边 BC 、 CA 、 AB 或其延长线上的点，且 · · ＝1，则 AD 、 BE 、 CF 平行或共点.

证明 因为

若 BE//CF ，可作 AD′//BE 交 BC 于 D′ （图5-1（ a ））；若 BE 与 CF 交于点 O ，联结 AO ，设与 BC 交于 D′ ，由塞瓦定理有

比较两式，有 ＝ ， D′ 与 D 重合，故 AD 、 BE 、 CF 平行或共点，命题得证. Z9W9bAyqboCtOhttUqoCDf7+L12oFw+lNZOIgZ0I0AqnV2iZ3c3kzYSxKNdruYvg