§ 4.4 定理的应用

为叙述方便，不妨把梅氏定理中的 ABC 叫做梅氏三角形，直线 DEF 叫做梅氏直线.

1．证线段相等

例4.1 在⊿ ABC （ AB ＞ AC ）的边 AB 、 AC 上分别有点 D 、 E ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ，且 ＝ ，求证： AD ＝ AE .

证明 如图4-7，将⊿ ABC 看成梅氏三角形， DEP 看成梅氏直线，则由梅氏定理，有

2．证角相等

例4.2 如图4-8， BE ＝ CD ， EF ＝ DF ，求证：∠ B ＝∠ ACB .

证明 视⊿ DAE 为梅氏三角形， BFC 为梅氏直线，则有

又 BE ＝ CD ， EF ＝ DF ，所以有 ＝1即 AB ＝ AC ，所以∠ B ＝∠ ACB .

3．证线段二次等式

例4.3 如图4-9，在⊿ ABC 中， BD ＝ CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于点 F ，求证： AC · EF ＝ AB · DF .

证明 将⊿ ADE 看成梅氏三角形， BCF 看成梅氏直线，则有

又因为 BD ＝ CE ，所以 AC · EF ＝ AB · DF .

4．证三线共点

例4.4 证明三角形三条中线交于一点.

证明 设中线 BE 、 CF 交于 O ， D 为 BC 中点，如图4-10，把△ AFC 看成梅氏三角形， BOE 看成梅氏直线，则有 ＝1.

又因为 AB ＝2 BF ， CE ＝ EA ，

代入上式，得2 FO ＝ OC .

联结 AO 延长交 BC 于 D′ ，将⊿ FBC 看成梅氏三角形， AOD′ 看成梅氏直线，

则有

又因为有 OC ＝2 OF ， AB ＝2 FA ，

所以有 BD′ ＝ D′C .

所以 D 与 D′ 重合，因而三中线交于一点.

5．证三点共线

例4.5 如图4-11，设⊿ ABC 的∠ A 的外角平分线与边 BC 的延长线交于 P ，∠ B 的平分线与边 CA 交于 Q ，∠ C 的平分线和边 AB 交于 R ，则 P 、 Q 、 R 三点共线.

证明 依内（外）角平分线定理，可得

所以，由逆定理， R 、 Q 、 P 共线.

6．解定值问题

例4.6 如图4-12，过∠ XOY 的平分线上一点 A ，任作一直线与 OX 、 OY 分别相交于 P 、 Q ，求证： 为定值.

证明 过 A 作 MN ⊥ OA ，交 OX 于 N 、 OY 于 M ，则 AM ＝ AN ， OM ＝ ON ，将△ QAM 看成梅氏三角形， OX 看成梅氏直线，则有

将△ ANP 看成梅氏三角形， OY 看成梅氏直线，则有

由①、②得

所以

7．求比值

例4.7 如图4-13，有 ＝2，求 .

解 将△ BDC 看成梅氏三角形， AE 看成梅氏直线，则有 ＝1 ＝

将△ ACE 看成梅氏三角形， DB 看成梅氏直线，

则有 ＝1 ＝ .

8．证线段的和差倍分

例4.8 如图4-14， AD 为△ ABC 的中线， E 为 AD 的中点， BE 交 AC 于 P ，求证： AP ＝ CP ， BE ＝3 EP .

证明 视△ ADC 为梅氏三角形， BEP 为梅氏直线，则有

视△ BCP 为梅氏三角形， AED 为梅氏直线，则有

例4.9 如图4-15，在△ ABC 中， AB ＞ AC ，过 BC 中点 D 作直线垂直于∠ A 的平分线交 AB 于 E ，交 AC 的延长线于 F ，求证：

证明 易证 AE ＝ AF ，视△ ABC 为梅氏三角形， EDF 为梅氏直线，则有

又 AE ＝ AF ， BD ＝ CD ，所以 BE ＝ CF ，

而

所以 BE ＝ CE ＝ （ AB - AC ）.

关于梅氏定理的应用，后面还会看到.

练习与思考

1．如图，已知 ＝ ， ＝ ，求 .

2．如图， P 是正方形 ABCD 对角线的交点， AF 平分∠ BAC ， DH ⊥ AF ， H 为垂足， DH 交 AP 于 G ，交 AB 于 E ，求证： BE ＝2 PG .

3．如图，已知 M 、 N 分别是四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 的中点，直线 MN 交 AB 、 BC 、 CD 、 DA 或延长线于 P 、 Q 、 R ， S ，求证： ＝ ＝ ＝ D .

4．已知 E 、 F 为△ ABC 的 BC 边上的点， BE ∶ EF ∶ FC ＝1∶2∶3， D 为 AC 中点， DB 被 AE 、 AF 截得三线段为 x 、 y 、 z ，求 x ∶ y ∶ z .

5． M 、 N 分别为▱ ABCD 的边 BC 、 CD 的中点， AM 、 AN 分别交 BD 于 P 、 Q .求证： S _{△ ABP} ＝ S _{△ APQ} ＝ S _{△ AQD} .

6． G 为△ ABC 的重心， KGH 为△ ABC 的割线，求证： 为定值.

（提示，延长 HK 与 BC 交于 E ） 6F6GvbKvcToXuFzzim/eQuTGLixYbw393tgAbwrvXCl/CN1IQE8YvL9gKbNY07Gz