下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
1．将三角形向凸 n 边形推广
定理4.1 一直线 l 截凸 n 边形 A 1 A 2 .… A n 的边 A 1 A 2 、 A 2 A 3 、…、 A n A 1 或其延长线（不过顶点 A i ）于点 B 1 、 B 2 、…、 B n ，则
证明 如图4-2，联结 A 1 A 3 、 A 1 A 4 .、…、 A 1 A n -1 ，设与 l 的交点分别为 C 1 、 C 2 、…、 C n -3 ，则有
图4-2
将上面诸式两边分别相乘即得
当然这一定理还可以用数学归纳法和解析法证明，如设各顶点坐标为 A i （ x i ， y i ）（ y i ≠0， i ＝1、2、...、 n ）， l 的方程为 y ＝0，则
顺便指出，当 n ＞3时，上述定理的逆命题不成立，即
若
·
…
＝1，则
B
1
、
B
2
、…、
B
n
（当
n
≥4时）不一定共线.今举一四边形作为反例.如图4-3，有
A
1
C
1
//C
2
A
4
//A
2
A
3
，
图4-3
从而有
＝
，将三式两边分别相乘，有
但显然 B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 不共线.
在梅氏定理中，如果我们引入有向线段的概念，如图4-1，规定
BC
为正向，
D
为
BC
延长线上一点，则
BD
＞0，
DC
＜0，因此
＜0，这时梅氏定理的结论应为
在这种规定下，我们又有下面的推广
定理4.2 设 D 、 E 、 F 为△ ABC 三边或其延长线上三点，且
则
证明 如图4-4
图4-4
同理
所以
此定理还可用解析法证明.
显然当 D 、 E 、 F 共线时，如图4-1，有 S △ DEF ＝0，故有1＋ λ 1 λ 2 λ 3 ＝0⇒ λ 1 λ 2 λ 3 ＝-1，即为梅内劳斯定理.
定理4.3 一平面截空间四边形 A 1 A 2 A 3 A 4 四边 A 1 A 2 、 A 2 A 3 、 A 3 A 4 、 A 4 A 1 分别于 B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 ，则
图4-5
证明 如图4-5.
若 B 1 B 2 //A 1 A 3 ，则 A 1 A 3 平行于 B 1 B 2 、 B 3 B 4 所确定的平面，故必有 A 1 A 3 //B 3 B 4 ，显然上式成立.
若 B 1 B 2 不平行于 A 1 A 3 ，可设 A 1 A 3 与 B 1 B 2 、 B 3 B 4 所在的平面交于 P ，则有
两式相乘，即得
反之，还可证明
定理4.4 若 B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 分别为空间四边形 A 1 A 2 A 3 A 4 四边 A 1 A 2 、 A 2 A 3 、 A 3 A 4 、 A 4 A 1 （或其延长线）上的点，且
则 B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 共面.
证明 如图4-5，若 B 1 B 2 ∥ A 1 A 3 ，则
又
所以
所以 B 4 B 3 //A 1 A 3 ，从而 B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 共面；若 B 1 B 2 不平行于 A 1 A 3 ，设交于 P ，则有
又
所以
从而 B 3 、 B 4 、 P 共线，因此 B 2 B 1 与 B 3 B 4 交于 P ， B 1 、 B 2 、 B 3 、 B 4 共面.
最后我们给出梅氏定理向球面三角形的一个推广，它是梅内劳斯的《球面学》第三篇的第一个定理.
定理4.5 设 ABC 为球面三角形，一圆弧与 ABC 三边或其延长线分别要交于 D 、 E 、 F （图4-6），则
图4-6
该定理的证明超出本书范围，略.