§ 4.3 定理的推广

1．将三角形向凸 n 边形推广

定理4.1 一直线 l 截凸 n 边形 A ₁ A ₂ .… A _n 的边 A ₁ A ₂ 、 A ₂ A ₃ 、…、 A _n A ₁ 或其延长线（不过顶点 A _i ）于点 B ₁ 、 B ₂ 、…、 B _n ，则

证明 如图4-2，联结 A ₁ A ₃ 、 A ₁ A ₄ .、…、 A ₁ A _{n -1} ，设与 l 的交点分别为 C ₁ 、 C ₂ 、…、 C _{n -3} ，则有

将上面诸式两边分别相乘即得

当然这一定理还可以用数学归纳法和解析法证明，如设各顶点坐标为 A _i （ x _i ， y _i ）（ y _i ≠0， i ＝1、2、...、 n ）， l 的方程为 y ＝0，则

顺便指出，当 n ＞3时，上述定理的逆命题不成立，即

若 · … ＝1，则 B ₁ 、 B ₂ 、…、 B _n （当 n ≥4时）不一定共线.今举一四边形作为反例.如图4-3，有 A ₁ C ₁ //C ₂ A ₄ //A ₂ A ₃ ，

从而有

＝ ，将三式两边分别相乘，有

但显然 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 不共线.

2．将三边上共线的三点推广为不共线的三点

在梅氏定理中，如果我们引入有向线段的概念，如图4-1，规定 BC 为正向， D 为 BC 延长线上一点，则 BD ＞0， DC ＜0，因此 ＜0，这时梅氏定理的结论应为

在这种规定下，我们又有下面的推广

定理4.2 设 D 、 E 、 F 为△ ABC 三边或其延长线上三点，且

则

证明 如图4-4

同理

所以

此定理还可用解析法证明.

显然当 D 、 E 、 F 共线时，如图4-1，有 S _{△ DEF} ＝0，故有1＋ λ ₁ λ ₂ λ ₃ ＝0⇒ λ ₁ λ ₂ λ ₃ ＝-1，即为梅内劳斯定理.

3．向空间推广

定理4.3 一平面截空间四边形 A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ 四边 A ₁ A ₂ 、 A ₂ A ₃ 、 A ₃ A ₄ 、 A ₄ A ₁ 分别于 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ ，则

证明 如图4-5.

若 B ₁ B ₂ //A ₁ A ₃ ，则 A ₁ A ₃ 平行于 B ₁ B ₂ 、 B ₃ B ₄ 所确定的平面，故必有 A ₁ A ₃ //B ₃ B ₄ ，显然上式成立.

若 B ₁ B ₂ 不平行于 A ₁ A ₃ ，可设 A ₁ A ₃ 与 B ₁ B ₂ 、 B ₃ B ₄ 所在的平面交于 P ，则有

两式相乘，即得

反之，还可证明

定理4.4 若 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 分别为空间四边形 A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ 四边 A ₁ A ₂ 、 A ₂ A ₃ 、 A ₃ A ₄ 、 A ₄ A ₁ （或其延长线）上的点，且

则 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 共面.

证明 如图4-5，若 B ₁ B ₂ ∥ A ₁ A ₃ ，则

又

所以

所以 B ₄ B ₃ //A ₁ A ₃ ，从而 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 共面；若 B ₁ B ₂ 不平行于 A ₁ A ₃ ，设交于 P ，则有

又

所以

从而 B ₃ 、 B ₄ 、 P 共线，因此 B ₂ B ₁ 与 B ₃ B ₄ 交于 P ， B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 共面.

4．将平面三角形向球面三角形推广

最后我们给出梅氏定理向球面三角形的一个推广，它是梅内劳斯的《球面学》第三篇的第一个定理.

定理4.5 设 ABC 为球面三角形，一圆弧与 ABC 三边或其延长线分别要交于 D 、 E 、 F （图4-6），则

该定理的证明超出本书范围，略. Uit2YlwPeWRC9HtxNGZygVEzX9wey6Uxf6lqoVNbCdl+lKy4CKEl2pG3q4boaC4R