§ 3.6 在几何作图中的应用

下面我们解决几个与黄金分割有关的作图问题，其证明留给读者.

例3.1 求作边长为 a 的正五边形.

作法 （如图3-15）

（1）作线段 BC ＝ a ，取其中点 M ；

（2）作 FM ⊥ BC ，且在 FM 上取点 P ，使 MP ＝ BC ＝ a ；

（3）联结 BP 延长至 Q ，使 PQ ＝ ，则 BQ 即为正五边形对角线的长；

（4）以 B 为圆心， BQ 为半径画弧交 MF 于 E ，则 E 为正五边形顶点之一；

（5）分别以 B 、 C 、 E 为圆心， a 为半径画弧得交点 A 、 D ，联结 AB 、 CD 、 DE 、 EA 即得所求正五边形.

例3.2 将半径为 R 的一己知圆十等分.

作法 （如图3-16）

（1）在☉ O 内取两条垂直的半径 OA ₀ 、 OB ；

（2）取 OB 中点 M ，连 A ₀ M ；

（3）在线段 A ₀ M 上取 MP ＝ R ；

（4）从 A ₀ 起，以 A ₀ P 为半径，在☉ O 上逐次截取可得 A ₁ 、 A ₂ 、 A ₃ 、…、 A ₉ ，则 A ₀ 、 A ₁ 、 A ₂ 、…、 A ₉ 将☉ O 十等分.

例3.3 作已知圆的内接正五边形.

在例3.2中，隔点联结有关分点，则可得圆内接正五边形，但下面我们给出它的另一种作法，如图3-17.

（1）在半径为 R 的圆 O 内作互相垂直的两直径 AS 、 MN ；

（2）取 OM 中点 P ，联结 AP ；

（3）在线段 PN 上截取 PQ ＝ AP ；

（4）以 AQ 之长在圆周上依次截取可得分点 A 、 B 、 C 、 D 、 E ；

（5）依次联结 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EA 即得圆内接正五边形.

练习与思考

1．证明在图3-7中 M 、 N 分别为 BE 、 BM 的黄金分割点.

2．我国很早以前民间就流传一种正五边形的近似作法：“九五顶五九，八五两边分（如图）.”这种作法的精确度是很高的.

（1）验证 M 点极接近 AN 的黄金分割点；

（2）试用这种方法作一边长为50毫米的正五边形.

3．验证黄金长方体的表面积与其外接球表面积的比为 ω ∶ π . QglV0sy3IGmR6rstLtWR9hk1pNmmtpqHZ4n2xbJFEEh81dFb+MoRfb8ocY+JmrzV