购买
下载掌阅APP,畅读海量书库
立即打开
畅读海量书库
扫码下载掌阅APP

§ 3.4 黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆、黄金长方体

下面我们给出黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆以及黄金长方体的概念,及其一些有趣的性质,但为节省篇幅,证明均略去.

1.黄金三角形

前面我们已经提到,顶角为36 ° 的等腰三角形其底与腰之比等于 ω ,这样的三角形叫黄金三角形,黄金三角形还有下列性质.

图3-11

图3-12

(1)如图3-11, BD 为黄金三角形△ ABC 底角 B 的平分线,则△ BCD 也是黄金三角形;

(2)仿上作∠ C 的平分线交 BD E ,则△ CDE 也是黄金三角形;如此下去可得一黄金三角形串:△ 1 ,△ 2 ,△ 3 ,…,△ n ,……,且所有的黄金三角形相似,其相邻的两黄金三角形的相似比为 ω

(3)在上述的黄金三角形串△ 1 ,△ 2 ,△ 3 ,…,△ n ,…中,△ n +3 的右腰与△ n 的左腰平行(如图3-11中,△ DEF 的右腰 DF 与△ ABC 的左腰 AB 平行);

(4)三角形串中△ n 、△ n +1 、△ n +3 的底边上的三条高共点(如图3-12,△ ABC 、△ BCD 、△ DEF 底边上的高 MN NT DN 共点);

与黄金三角形串{△ n }相邻的均是些底角为36 ° 的等腰三角形,他们也构成一三角形串,在这个三角形串中,相邻三个三角形底边上的高也构成黄金三角形(如图3-12,这个三角形串中的△ DAB 、△ EBC 、△ FCD 的高构成黄金三角形 TMN );这些黄金三角形也有一些有趣性质,这里就不一一列举了.

2.黄金矩形

长宽之比为 ω 的矩形叫黄金矩形.

如图3-13, ABCD 为黄金矩形, AD =1, CD ω ,则

(1) CD AD AD - CD 的比例中项;

(2)作正方形 ABFE ,则矩形 EFCD 仍为黄金矩形;再作正方形 EDHG ,则矩形 FCHG 也为黄金矩形,如此下去,可得一串正方形与一串黄金矩形(这反映了它的再生性);

图3-13

(3)上面的正方形 ABFE EDHG CHJI 、…,构成一正方形漩涡,其边长组成等比数列: ω ω 2 ω 3 ,…,其面积和为矩形面积 ω (这给级数和 ω 2 ω 4 ω 6 +…﹦ ω 以几何解释);

(4)在上面的一串黄金矩形中,他们都相似,且相邻两矩形相似比为 ω

这串黄金矩形中还有如下性质:

(5) A G C 三点共线; D J F 共线;

(6) AC DF BH 共点,设为 O

(7) O 为所有黄金矩形的相似中心;

(8) AC DF

(9)

(10)点 O BC 的距离为 ,到 DC 的距离为

(11)点 A D C F G J 、…在同一对数螺线上.

3.黄金椭圆

若椭圆 =1的短轴与长轴之比 ω ,则称此椭圆为黄金椭圆.以椭圆中心为圆心, c 为半径的圆称为焦点圆.则

(1)黄金椭圆与焦点圆面积相等;

(2)椭圆与焦点圆在第一象限的交点为: Q b b )(如图3-14);

图3-14

(3)设 OQ x 轴正向夹角为 θ ,则tan θ =cos θ ,sin θ ω

(4)黄金椭圆的离心率 e .

我们知道,二次曲线本是 π 的天下,岂知黄金数 ω 也在此有立足之地!

4.黄金长方体

长,宽,高之比是 的长方体称为黄金长方体.黄金长方体的表面积与其外接球表面积之比是 ω π .这里 ω 还与 π 建立起“亲缘”关系.. zsx30E+bOYlzPa4PqTFN0YckQ83WVUh2nVd0OQaF15j6P5oxnqDK4QuWPAFvgx2D

点击中间区域
呼出菜单
上一章
目录
下一章
×