§ 3.4 黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆、黄金长方体

下面我们给出黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆以及黄金长方体的概念，及其一些有趣的性质，但为节省篇幅，证明均略去.

1．黄金三角形

前面我们已经提到，顶角为36 ° 的等腰三角形其底与腰之比等于 ω ，这样的三角形叫黄金三角形，黄金三角形还有下列性质.

（1）如图3-11， BD 为黄金三角形△ ABC 底角 B 的平分线，则△ BCD 也是黄金三角形；

（2）仿上作∠ C 的平分线交 BD 于 E ，则△ CDE 也是黄金三角形；如此下去可得一黄金三角形串：△ ₁ ，△ ₂ ，△ ₃ ，…，△ _n ，……，且所有的黄金三角形相似，其相邻的两黄金三角形的相似比为 ω ；

（3）在上述的黄金三角形串△ ₁ ，△ ₂ ，△ ₃ ，…，△ _n ，…中，△ _{n ＋3} 的右腰与△ _n 的左腰平行（如图3-11中，△ DEF 的右腰 DF 与△ ABC 的左腰 AB 平行）；

（4）三角形串中△ _n 、△ _{n ＋1} 、△ _{n ＋3} 的底边上的三条高共点（如图3-12，△ ABC 、△ BCD 、△ DEF 底边上的高 MN 、 NT 、 DN 共点）；

与黄金三角形串｛△ _n ｝相邻的均是些底角为36 ° 的等腰三角形，他们也构成一三角形串，在这个三角形串中，相邻三个三角形底边上的高也构成黄金三角形（如图3-12，这个三角形串中的△ DAB 、△ EBC 、△ FCD 的高构成黄金三角形 TMN ）；这些黄金三角形也有一些有趣性质，这里就不一一列举了.

2．黄金矩形

长宽之比为 ω 的矩形叫黄金矩形.

如图3-13， ABCD 为黄金矩形， AD ＝1， CD ＝ ω ，则

（1） CD 是 AD 和 AD - CD 的比例中项；

（2）作正方形 ABFE ，则矩形 EFCD 仍为黄金矩形；再作正方形 EDHG ，则矩形 FCHG 也为黄金矩形，如此下去，可得一串正方形与一串黄金矩形（这反映了它的再生性）；

（3）上面的正方形 ABFE 、 EDHG 、 CHJI 、…，构成一正方形漩涡，其边长组成等比数列： ω ， ω ² ， ω ³ ，…，其面积和为矩形面积 ω （这给级数和 ω ² ＋ ω ⁴ ＋ ω ⁶ ＋…﹦ ω 以几何解释）；

（4）在上面的一串黄金矩形中，他们都相似，且相邻两矩形相似比为 ω ；

这串黄金矩形中还有如下性质：

（5） A 、 G 、 C 三点共线； D 、 J 、 F 共线；

（6） AC 、 DF 、 BH 共点，设为 O ；

（7） O 为所有黄金矩形的相似中心；

（8） AC ⊥ DF ；

（9） ；

（10）点 O 到 BC 的距离为 ，到 DC 的距离为 ；

（11）点 A 、 D 、 C 、 F 、 G 、 J 、…在同一对数螺线上.

3．黄金椭圆

若椭圆 ＋ ＝1的短轴与长轴之比 ＝ ω ，则称此椭圆为黄金椭圆.以椭圆中心为圆心， c ＝ 为半径的圆称为焦点圆.则

（1）黄金椭圆与焦点圆面积相等；

（2）椭圆与焦点圆在第一象限的交点为： Q （ b ， b ）（如图3-14）；

（3）设 OQ 与 x 轴正向夹角为 θ ，则tan θ ＝cos θ ＝ ，sin θ ＝ ω ；

（4）黄金椭圆的离心率 e ＝ .

我们知道，二次曲线本是 π 的天下，岂知黄金数 ω 也在此有立足之地！

4．黄金长方体

长，宽，高之比是 的长方体称为黄金长方体.黄金长方体的表面积与其外接球表面积之比是 ω ∶ π .这里 ω 还与 π 建立起“亲缘”关系.. t9nZaWgdyLdrz/l9n4AohilglmfZEDhp6pINH1seKs3ilXxVv1Y+itT8wc3FZmpx