§ 3.3 黄金数的各种趣式

1．

证明 设 ＝ x ，则 ＝ x ，故有 x ² ＋ x -1＝0.

因为 x ＞0，所以 x ＝ ω .

2． ω ＝ ，（0＜ a ＜1）.

证明 设 ＝ x ，则 x ＞0，两边平方得 x ² ＋ x -1＝0，故 x ＝ ω .

3．

证明 设 ，则

两次平方化简得

即

易见 x ≠-1， x ≠2，故 x 满足 x ² ＋ x -1＝0，从而 x ＝ ω .

4． ω ＝2·sin18 °

只要求出 sin 18 ° 的值即可得出结论.（略）

5．顶角为36 ° 的等腰三角形，底与腰之比等于 ω .

证明 如图3-3，作∠ C 的平分线 CD ，交 AB 于 D ，则∠ BCD ＝∠ ACD ＝36 ° ，从而 BC ＝ CD ＝ AD ，△ ABC ∽△ CDB ，所以

将 BC ＝ AD 代入，即得

6．底角为72 ° 的等腰梯形，若上底等于腰，则上下底之比等于 ω .

证明 图3-4，因为∠ B ＝∠ BCD ＝72 ° ，又 AD ∥ BC ， AD ＝ CD ，所以

得∠1＝∠3＝36 ° ，从而∠4＝72 ° ，

所以⊿ CAB 为顶角等于36 ° 的等腰三角形，由结论5得 ＝ ＝ ω .

7．正五边形的边与对角线之比等于 ω .

略证 正五边形的五条对角线相等且构成一五角星形，且不难求得五角星顶角为36 ° ，如图3-5中△ ACD 就是一顶角为36 ° 的等腰三角形，依结论5，有

8．单位圆中内接正十边形边长等于 ω .

证明 如图3-6，设 AB 是单位圆内接正十边形的边长，则△ AOB 为顶角等于36 ° 的等腰三角形，故有 ＝ AB ＝ ω .

9．五角星中（如图3-7），每边长短不等的线段有四种（如 NM 、 BN 、 BM 、 BE ），它们满足 ＝ ＝ ω .

提示利用结论5及△ AME ∽△ BAE 证 N 为 BM 的黄金分割点， M 为 BE 的黄金分割点.

正五角星与其外接正五边形，可组成20个大大小小的顶角为36 ° 的等腰三角形，存在数十对比值为黄金数的线段，真可谓一颗五彩缤纷的金星！

10．在单位正方形中挖去一小正方形，使小正方形的面积等于剩下部分的面积的平方，则小正方形的边长为 ω .

证明 如图3-8，设小正方形边长为 x ，则

即

所以 x ² ＝ ，依题意，应舍去 ，于是 x ² ＝ ，解之得 x ＝± ，舍去负值，得 x ＝ ω .

11．如图3-9，在 Rt △ ABC 中， CD 为斜边上的高，且 ＝ S _{△ ADC} · S _{△ ABC} ，则 D 为 AB 的黄金分割点，且sin B ＝ ω .

证明 因为 ＝ S _{△ ADC} · S _{△ ABC} ，

即

得

即 D 为 AB 的黄金分割点.又 AC ² ＝ AD · AB ，所以 AC ＝ BD ，从而有

12．把正方形如图3-10（ a ）那样剪开后拼成图3-10（ b ）那样的长方形，则

证明 正方形面积为：

长方形面积为

因为剪拼前后，面积不变.所以

即有

13．在平面坐标系中，若以三点（1， x ）、（ x ，1）、（-1，- x ）为顶点的三角形的面积等于 x ，则 x ＝ ω .

证明 由 ＝ x ，得

x ² ＋ x -1＝0，所以 x ＝ ω （负值舍去）.

14．设 u _n ＝ 为 n 阶行列式，则 ＝ ω

提示先证 u _n 为斐波那契数列通项，再求极限得之.这是一道前苏联大学生竞赛题. 4U2GYIiZe3z1a7IMMGzQJyhEKKlwmuwT2F7u5RFLdYLMzCN2WE6EJ4LZD22fdvB8