§ 2.4 定理的应用

光反射定理2.1-2.7及逆定理在实际应用中的经济学价值是显而易见的，下面仅举几例.

例2.1 在一条笔直的公路 l 同侧有两家工厂 A 、 B ，现要在公路（ l ）上设一汽车站，问汽车站设在什么地方，才能使这两家工厂到汽车站的距离之和最短？

解 如图2-12，作点 A 关于 l 的对称点 A′ ，联结 A′B 交 l 于 C ，则∠1＝∠2，由海伦定理，当在点 C 处建汽车站时，能使 AC ＋ CB 最短.

例2.2 如图2-13， a 、 b 为两交叉成锐角的公路，在公路 a 、 b 间有一邮局 P ，现要在公路 a 、 b 上各安装一邮筒，问这两邮筒放在什么地方，才能使邮递员从邮局 P 到公路 a 边的邮筒取信后，再到公路 b 边的邮筒取信，然后回到邮局 P 所走的路径最短？

解 作点 P 关于直线 a 的对称点 P′ ，关于 b 的对称点 P″ ，联结 P′P″ 分别交 a 、 b 于 M 、 N ，联结 PM 、 PN ，则有∠1＝∠2，∠3＝∠4，由定理2.2，则 PM ＋ MN ＋ NP 为最短路径，故邮筒应分别安装在点 M 、 N 处.

例2.3 一条河两岸分别有村庄 A 和 B ，现要在河上建一座桥，问桥应建在什么地方，才能使从 A 到 B 所走的路径最短？

解 如图2-14所设， d 为河宽，作 BB′ ⊥ l ₂ ，且使 BB′ ＝ d ，联结 AB′ 交 l ₁ 于 E ，作 EF ⊥ l ₂ 于 F .联结 FB ，可得∠1＝∠2，由定理2.6，在 EF 处建桥时，可使 A 到 B 的路径最短.

例2.4 在▱ ABCD 的 AB 上有一定点 K ，以 K 为顶点作▱ KLMN ，使 L 、 M 、 N 分别在 BC 、 CD 、 AD 上，且使▱ KLMN 周长最短.

作法 如图2-15.作 K 关于 AD 的对称点 K′ ，设▱ ABCD 的中心为 O ，联结 KO 交 CD 于 M ，联结 K′M 交 AD 于 N ，联结 NO 交 BC 于 L ，则四边形 KLMN 为所求.

证明 据中心对称图形易知四边形 KLMN 为平行四边形，欲证▱ KLMN 周长最短，只要证半周长 KN ＋ NM 最短即可， K 、 M 为 AD 同侧两点，由海伦定理即得结论.

最后我们来解决法尼亚诺问题.

例2.5 在锐角三角形中，作周长最短的内接三角形.

首先我们介绍费耶尔的解法.这是1900年他还是柏林的一个学生时发现的.

解法1 如图2-16，设 Z 是 AB 上任一定点，作 Z 关于 AC 、 CB 的对称点 K 、 H ，联结 KH 交 AC 、 BC 于 Y 、 X ，则△ XYZ 是以定点 Z 为顶点的周长最小的内接三角形（据定理2.2），且周长为线段 KH .

但由于 K 、 Z 、 H 、 Z 分别关于 CA 、 CB 对称，所以 CH ＝ CZ ＝ CK ，∠ HCB ＝∠ BCZ ，∠ KCA ＝∠ ACZ ，从而∠ KCH ＝2∠ ACB 为定角.由余弦定理，有 KH ² ＝2 CZ ² （1-cos2∠ ACB ），所以当 CZ 最小时， KH 也最小，即△ XYZ 周长取最小值.而当 CZ ⊥ AB 时， CZ 为最小.同理当 AX ⊥ BC 、 BY ⊥ AC 时，△ XYZ 周长最小，于是得出结论：在锐角三角形的所有内接三角形中，以垂足三角形的周长最小.

施瓦兹的解法更是别出心裁，请看

解法2 将△ ABC 依次以 AC 、 B′C 、 A′B′ 、 A′C′ 、 B″C′ 为轴连续施行五次对称变换，得到图2-17，因垂足△ XYZ 与△ ABC 每一边所构成的两角都相等，由对称性知，△ XYZ 通过依次对称翻转展成直线 ZZ′ ，且其周长的2倍等于 ZZ′ .

设△ DEF 为△ ABC 的任一内接三角形，则通过对称翻转，△ DEF 各边依次展成折线 FF′ （图2-17中以 F 、 F′ 为端点的点画线），且△ DEF 周长的2倍等于折线 FF′ 的长度.

又∠ AZZ′ ＝∠ ZZ′B″ ，故 AB ∥ A″B″ ，从而四边形 FZZ′F′ 为平行四边形，有 ZZ′ ＝ FF′ ≤折线 FF′ ，即

2△ XYZ 的周长≤2△ DEF 的周长，

△ XYZ 的周长≤△ DEF 的周长.

所以在锐角三角形的所有内接三角形中，以垂足三角形周长最短.

施瓦兹的解法是值得回味的，他的这种方法被莫利（F.Morley，1860～1937），（见第二十章）在1933年推广到2 n ﹢1边形的情形.

练习与思考

1．证明：在同底等高的三角形中，以等腰三角形的周长为最小.

2．如图， A′ 为△ ABC 的外角平分线 AT 上的任意一点，证明：

3．☉ O 为锐角∠ ACB 内一定圆，在☉ O 、 CA 、 CB 上分别求出一点 P 、 Q 、 R ，使从 P 到 Q 到 R 再到 P 的路径最短.