§ 2.3 定理的推广

定理2.1 设 P 、 Q 为直线 ST 同侧两点，点 A 、 B 是 ST 上两动点，且 AB ＝ a ，则从点 P 到 A 到 B 再到 Q 的最短路径中，以当∠ PAS ＝∠ QBT 时路径最短.

证明 如图2-5，作▱ ABQQ′ ，则∠ Q′AB ＝∠ QBT ＝∠ PAS ，所以 PA ＋ AQ′ 为从 P 到 ST 再到 Q′ 的最短路径.从而 PA ＋ AQ′ ＋ Q′Q ＝ PA ＋ AB ＋ BQ 为最短路径.

定理2.2 若 P 为锐角∠ XOY 内一定点， M 、 N 分别为 OY 、 OX 上两动点，则 PM ＋ MN ＋ NP 当∠ PMY ＝∠ NMO ，∠ MNO ＝∠ PNX 时为最短（图2-6）.

定理2.3 若 P 、 Q 是锐角∠ XOY 内两定点， M 、 N 分别为 OY 、 OX 上两动点，则 PM ＋ MN ＋ NQ 当∠ PMY ＝∠ NMO 、∠ MNO ＝∠ QNX 时为最短.

证明 如图2.7所示，分别作 P 、 Q 关于 OY 、 OX 的对称点 P′ 、 Q′ ，由∠ PMY ＝∠ NMO ，∠ MNO ＝∠ QNX ，可得 P′ 、 M 、 N 、 Q′ 共线，从而有

设 M′ 、 N′ 分别为 OY 、 OX 上任意两点，则

命题得证.

特别地当 P 、 Q 重合时，即为定理2.2.

由定理2.1、定理2.3，还可得到

定理2.4 若 P 、 Q 为锐角∠ XOY 内两定点， A 、 B 为 OY 上两动点， C 、 D 为 OX 上两动点，且 AB ＝ a ， CD ＝ b ，则 PA ＋ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DQ 当∠ PAY ＝∠ CBO 、∠ BCO ＝∠ QDX 时为最短.

证明 如图2-8，作▱ PABP′ 、▱ CDQQ′ ，依定理2.3，则可得 P′B ＋ BC ＋ CQ′ 为从点 P′ 到 OY 上一点再到 OX 再到 Q′ 的最短路径.从而 PA ＋ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DQ 为最短路径.

将∠ XOY 推广到凸折线，还可得

定理2.5 （如图2-9）若 P 、 Q 为凸折线 A ₁ A ₂ … A _n 内两定点， B ₁ 、 B ₂ 、…、 B _{n -1} 分别是 A ₁ A ₂ 、 A ₂ A ₃ 、…、 A _{n -1} A _n 上的动点，则 PB ₁ ＋ B ₁ B ₂ ＋ B ₂ B ₃ ＋…＋B _{n -1} Q 当∠ PB ₁ A ₁ ＝∠ B ₂ B ₁ A ₂ 、∠ B ₁ B ₂ A ₂ ＝∠ B ₃ B ₂ A ₃ 、…、∠ B _n -2B _{n -1} A _n -1＝∠ A _n B _{n -1} Q 时最短.

证明仿上，从略.

定理2.6 设 M 、 N 分别为两平行线 AB 、 CD 上两动点， MN ⊥ AB ， P ， Q 为直线 AB 、 CD 外侧两定点（如图2-10），则 PM ＋ MN ＋ NQ 当∠ PMA ＝∠ QND 时为最短.

证明 作 QQ′ ⊥ CD ，使 QQ′ ＝ MN ， MNQQ′ 为平行四边形，又 AB ∥ CD ，∠ PMA ＝∠ QND ，∴ P 、 M 、 Q′ 、共线.

设 M′N′ 为 AB 、 CD 的任一公垂线段，则

PM′ ＋ M′N′ ＋ N′Q ＝ PM′ ＋ M′Q′ ＋ Q′Q ≥ PQ′ ＋ Q′Q ＝ PM ＋ MN ＋ NQ ，证毕.

值得指出的是，定理2.1～定理2.6的逆命题均成立.即有

定理2. 1′设 P 、 Q 为直线 ST 同侧两点，点 A 、 B 是 ST 上两动点，且 AB ＝ a ，侧当 PA ＋ AB ＋ BQ 最短时，必有∠ PAS ＝∠ QBT （图2-5）.

定理2.2 ′P 为锐角∠ XOY 内一定点， M 、 N 分别为 OY 、 OX 上两动点，则当 PM ＋ MN ＋ NP 最短时必有∠ PMY ＝∠ NMO 、∠ MNO ＝∠ PNX （图2-6）.

定理2.3 ′P 、 Q 为锐角∠ XOY 内两定点， M 、 N 分别为 OY 、 OX 上两动点，则当 PM ＋ MN ＋ NQ 最短时必有∠ PMY ＝∠ NMO 、∠ MNO ＝∠ QNX （图2-7）.

定理2. 4 ′P 、 Q 为锐角∠ XOY 内两定点， A 、 B 为 OY 上两动点， C 、 D 为 OX 上两动点，且 AB ＝ a ， CD ＝ b （图2-8），则当 PA ＋ AB ＋ BC ＋ CD ＋ DQ 最短时，必有∠ PAY ＝∠ CBO 、∠ BCO ＝∠ QDX .

定理2.5 ′若 P 、 Q 为凸折线 A ₁ A ₂ … A _n 内两定点， B ₁ 、 B ₂ 、…、 B _{n -1} 分别是 A ₁ A ₂ 、 A ₂ A ₃ 、…、 A _{n -1} 、 A _n 上的动点（图2-9），则当 PB ₁ ＋ B ₁ B ₂ ＋…＋ B _{n -1} Q 最短时，必有

定理2.6 ′若 M 、 N 分别为两平行线 AB 、 CD 上两动点，且 MN ⊥ AB ， P 、 Q 为直线 AB 、 CD 外侧两定点（图2-10），则当 PM ＋ MN ＋ NQ 最短时，必有∠ PMA ＝∠ QND .

上述定理的证明可仿海伦定理逆定理的证明，留读者自己给出.

最后我们给出海伦定理向二次线段的一个推广：

定理2.7 若 P 、 Q 为两定点， l 为定直线，过 PQ 中点 S 作 SM ⊥ l 于 M ，则 M 为 l 上唯一的使 PM ² ＋ MQ ² 为最小的点.

证明 如图2-11，作 PE ⊥ l 、 QF ⊥ l 、 E 、 F 为垂足，并没 PE ＝ a 、 QF ＝ b 、 EF ＝ c 、 EM ＝ x ，则 a 、 b 、 c 为定值.

显然当且仅当 x ＝ 时（即 M 唯一）， PM ² ＋ MQ ² 为最小. +OqHrj+hQElFERt32/9Bqu278nRR6OEeZiahtgaMBQpM/jAlZT4AJJPHAfCCWBuF