§ 2.2 定理的证明

这里我们证明海伦定理，法尼亚诺问题将在本章末介绍.

证明 如图2-3所设， P′ 为 P 关于 ST 的对称点， R′ 为 ST 上任意点，则 PR ＝ P′R ，∠ α ＝∠ γ ，又∠ α ＝∠ β ，故 P′ 、 R 、 Q 共线，据“三角形两边之和大于第三边”，有

顺便指出，其逆命题也成立.

逆定理 若 P 、 Q 为直线 ST 同侧两点， R 为 ST 上一动点，则当 PR ＋ RQ 最短时，必有∠ PRS ＝∠ QRT .

证明 如图2-4.设 P 关于 ST 的对称点为 P′ ，则∠ PRS ＝∠ P′RS ，若∠ PRS ≠∠ QRT ，则

为折线.联结 P′Q ，设与 ST 交于 R′ ，则

这与 PR ＋ RQ 为最短相矛盾.故必有∠ PRS ＝∠ QRT . 2Yyo6ec5PpDan9xQ6kXniLXR2t7FzRZiSKdWOEAVFmpMzPXSGs5sfNmz10jMlk5T