§ 1.5 勾股定理及其他

1．勾股定理与无理数

无理数是无限不循环小数，如 ＝1.41421356….惊奇的是，这些无理数可用勾股定理精确地求出.如图1-23（ a ）、（ b ）.

2．勾股定理与三角公式

如图1-24，点 C 为半径为1的半圆上一点， CM ⊥ AB 于 M ， ON ⊥ AC 于 N ，∠ OAC ＝∠ ACO ＝ α ，则∠ COM ＝2 α ，图中各条线段如图所标.

通过这个图形，在不同的直角三角形中运用勾股定理可推得一系列三角公式（具体过程读者可自己写出）.如在⊿ AON 中运用勾股定理，可得

分别在⊿ BMC 和⊿ AMC 中运用勾股定理，可得半角公式：

由 MC ＝ AC sin α ，可得倍角公式：

由 AM ＝ AC cos α ＝2cos ² α ， OM ＝ AM - OA ＝2cos ² α -1，可得倍角公式：

将sin ² α ＋cos ² α ＝1代入上式化简，可得倍角公式：

3．勾股数

使等式

成立的任何三个正整数，称为勾股数.

在《九章算术·勾股》（约公元前1世纪的著作）二十四题中出现了八组勾股数：

下面是几个求勾股数的公式：

（1）毕达哥拉斯公式

当 m 为大于1的正奇数时， m ， ， 是一组勾股数.

（2）柏拉图公式

这个公式也不能给出所有勾股数组，因为 m ² ＋1与 m ² -1相差2，像7，24，25这样的勾股数组就不能给出.

（3）欧几里得公式

其中 m 、 n 都是正整数， m ＞ n ，（ m ， n ）＝1.

（4）刘徽公式

其中 m 、 n 为同奇或同偶的正整数，且 m ＞ n .

有趣的是，1989年，一位美国教师塔塞尔（L.T.VanTassel）发现一组“回文勾股数”：88209，90288，126225.即有

注意88209与90288互为逆序数.他的这一结论发表在美国《数学教师》1989年1月号上.尔后他的学生佩瑞兹（D.Perez）又找到：

接着要问，回文勾股数是否有无穷个？

回答是肯定的.当 k ＝100001时，有

在此基础上，进一步可得出

其中 n 为正整数.

4．费马大定理

从勾股方程

的正整数解，自然联想到下面这些方程：

有没有正整数解？

法国数学家费马（P.Fermat，1601-1665，见二十四章）曾宣称，他解决了这个问题，当 n 为大于2的整数时，方程（※）没有正整数解.他在一本古希腊数学家丢番图（Diophantos）的著作的边页上写道：“我已经找到这个令人惊讶的证明，但是书页的边太窄，无法把它写出.”费马是否真的证明了这个问题，我们无从知晓.但这个问题却困扰了数学家350年之久，许多数学家是穷其一生研究费马大定理，最终均以失败告终.17世纪德国人募捐了10万金马克，拟奖励解决者；1850年和1861年法国科学院曾先后两度悬赏一枚金质奖章和3000法郎，但仍无人报领；1908年，一位德国商人将10万马克捐赠哥廷根科学院，再次向全世界征求“费马大定理”的证明，限期100年.

1993年6月23日，美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯（Andrew.J.Wiles，1953-）在他的家乡剑桥大学的牛顿研究所作了一场报告，汇报了他长达8年潜心研究的成果，最后他在黑板上写道：“费马大定理由此得证”.当他把这几个大字写完时，会场先是寂静无声，突然是爆发出一阵经久不息的掌声.照相机、摄像机记录了这个历史性时刻.许多人以短信、电子邮件向全世界通告了这个消息.

第二天世界各大报纸纷纷以大量篇幅给予了报道.一夜之间，怀尔斯成为世界最著名的数学家.《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”.1995年5月《数学年刊》以整整一期的篇幅刊登了他的研究成果.

2005年8月28日，怀尔斯第一次踏上中国的土地，29日到北京大学，30日下午在北京大学英杰交流中心阳光大厅演讲.讲台上，怀尔斯从容自在，以流利的英语回顾了费马大定理的历史和300多年来数学家攻克费马大定理的灿烂历程.同时也交流了他的研究心得，与中国同行分享了他的成功与喜悦.

谈起费马大定理的意义，有人归纳为三条：

（1）人类智力活动的一曲凯歌

怀尔斯的导师、剑桥大学教授约翰·科茨说：“这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌”.

（2）会下金蛋的鹅

希尔伯特被公认为攻克数学难题的高手，他在一次讲演中提到费马大定理，当时有人问他为什么自己不试试解决这个难题？他风趣地回答：“干吗要杀死一只会下金蛋的鹅？”

300多年来，人们在攻克费马大定理的过程中，提出了许多新的问题，也产生了许多新的理论和方法，这些问题和方法对数学的发展和推动远非一个定理所能比拟.

（3）促进其他科学技术的发展

由研究“费马大定理”而发展出来的技术，如“编码理论”、“加密学”已被广泛应用到各种科学技术之中.我国著名数学家齐民友说：“费马大定理犹如一颗光彩夺目的宝石，它藏在深山绝谷的草丛之中…在征服它的路上，人们找到了丰富的矿藏.…这颗宝石可以成为价值连城的珍宝，但连同这些矿藏，却成了人类文明的一部分.”

5．千姿百态的“勾股树”

利用几何画板可以“描绘”出千姿百态的“勾股树”（图1-25（ a ）（ b ））.这棵树的树干和树枝是由勾股图形“迭代”而成的.现代技术更深入地展示了这个定理的美妙.

练习与思考

1．在Rt△ ABC 中， D 是斜边 AB 上任意一点，求证：

并指出勾股定理是其特殊形式.

2．设 AC 为▱ ABCD 较长的对角线，从 C 引 AB 、 AD 的垂线 CE 、 CF ，分别与 AB 、 AD 的延长线交于 E 、 F .求证：

3．在△ ABC 中， BC ＝3， AC ＝4， AE 和 BD 分别是 BC 和 AC 边上的中线，且 AE ⊥ BD ，求 AB .

4．美国哥伦比亚大学普林顿收藏馆收藏有一块很古怪的泥板.这块泥板是在巴比伦挖掘出来的，编号为322．上面记载的文字属古巴比伦语，可推测所属年代在公元前1600年以前.之前人们一直以为普林顿322号是一张商业帐目表，直到1945年，诺依格包尔首先揭示了它的数论意义.你能知道这些数字间的关系吗（可借助计算器进行探索）？