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勾股定理的应用是相当广泛的，我国古代名著《九章算术》（约公元前100年前后成书）的第九章，即最后一章，就专门讨论勾股定理的应用.前面所给出的变形及推广已构成一庞大的勾股“家族”.下面略举几个典型的例子谈谈它的应用.
例1.1 设 A （ x 1 ， y 1 ）、 B （ x 1 ， y 1 ）是平面内两点，求 A 、 B 间的距离｜ AB ｜.
图1-20
解 如图1-20，作 AC ⊥ BC ，则｜ AC ｜＝｜ x 2 - x 1 ｜，同理，｜ BC ｜＝｜ y 2 - y 1 ｜，依勾股定理，有
此即导出了我们常用的距离公式.
例1.2 （月牙定理）图1-21是以直角△ ABC 各边为直径所作的三个半圆形，试证明图中两个带阴影的月牙形面积之和等于直角△ ABC 的面积.
图1-21
证明 因为△ ABC 为直角三角形.
所以
故有
即直角边上两个半圆面积之和等于斜边上半圆的面积.（也可直接应用定理1.1）
减去公共部分（不带阴影的两弓形）即得结论.
这是希腊医生、数学家希波克拉底斯（Hippocrates，公元前470～前430年）研究过的一个问题.这一问题的发现，曾给数学家们很大鼓舞，他们想以此来寻求化圆为方（见第三十章§30.1三大几何作图问题）的方法，但最终还是一次又一次失败了，直到1882年林德曼（Lindemann，1852～1939年）证明了 π 的超越性后，才彻底地否定了这个问题.
例1.3 已知 a 、 b 、 c 、 d 为正实数，且 a 2 ＋ b 2 ＝1， c 2 ＋ d 2 ＝1，求证 ac ＋ bd ≤1.
证明 （加菲尔德构图法）
构造如图1-22的直角梯形 BCDE ，设∠ BAC ＝ α .显然Rt△ ABE 与Rt△ ACD 中，满足题设
图1-22
因为
又
所以
即
