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双曲函数研究有很多文献并且它在科学工程有广泛应用［4-6］。我们提出研究双曲函数的数论性质，文［7-8］给出了双曲函数方幂和与正负相间双曲函数方幂和计算公式。利用复数隶莫佛公式给出双曲函数与三角函数积的和式封闭形计算公式。
熟知有理分式化成部分分式有下列结论：
定理 1 sh （ kx ＋ φ ）， ch （ kx ＋ φ ）为双曲函数，复数 d ≠0， d ≠ a -1 ， b -1 则含有等比数列的双曲函数封闭形和式为：
若 d ≠- a -1 ，- b -1 则含有等比数列的正负相间双曲函数封闭形和式为：
证明
熟知双曲正，余弦函数定义［1］：
shx
＝
（
e
x
-
e
-
x
），
chx
＝
（
e
x
＋
e
-
x
）
我们令 a ＝ e x ， b ＝ e - x ，显然 a - b ＝2 shx ， a ＋ b ＝2 chx ， a · b ＝1；
由 sh （ nx ＋ φ ）＝（ a n e φ - b n e - φ ）/2， ch （ nx ＋ φ ）＝（ a n e φ ＋ b n e - φ ）/2
序列｛ d n sh （ nx ＋ φ ）｝发生函数为
序列｛
d
k
sh
（
kx
＋
φ
）｝发生函数为
注意到，限制 d ≠ a -1 ， b -1 ，（ ad -1）（ bd -1）≠0
比较 G （ z ）两端 z n 的系数，得到式（1）式。
类似（1）式方法得式（2）。
注意到，若 d ≠- a -1 ，- b -1 则（ ad -1）（ bd -1）≠0
比较 D （ z ）两端 z n 系数，得到式（3）。
类似式（3）方法得（4）式。定理1证毕。
定理 2双曲函数与三角函数积的封闭形和式
证明
令
d
＝
e
iβ
＝cos
β
＋
i
sin
β
；
i
＝
，计算
两个复数相乘：（a）实部与实部相乘＋虚部与虚部相乘，利用三角函数公式cos（ α - β ）＝cos α cos β ＋sin α sin β ，整理化简与（1）式左端实部相等得（5）式。
（b）前一复数实部乘以后一复数虚部前一复数虚部乘以后一复数实部利用三角函数公式sin（ α - β ）＝sin α cos β -cos α sin β 整理化简与（1）式左端虚部相等得（6）式。同法利用（2）式得（7），（8）式，利用（3），（4）式分别得（9），（10）与（11），（12）式。