第四节
含有三角函数的Chebyshev多项式封闭形和式

熟知［2］第1类和第2类切贝雪夫多项式为：

我们利用发生函数方法得到首先得到一类含有等比数列的Chebyshev多项式封闭形和式，其次利用复数隶莫弗乘法公式得到含有三角函数的Chebyshev多项式封闭形和式简捷表达式。为了书写方便，我们将 T _n （ x ）， U _n （ x ）分别写成 T _n ， U _n 若无特别说明，文中字母表示正整数。

定理 1设 U _n ， T _n 是1类和2类Chebyshev多项式，复数 d ≠0，含有等比数列的封闭和式：

有理分式函数化成部分分式之和并将其展开成形式幂级数：

序列通项｛ U _n d ⁿ ｝的发生函数 （ U _n d ⁿ ） z ⁿ ＝ （ - ）

于是序列前n＋1项的和发生函数

比较（0.3）式两端 z ⁿ 的系数得到（1）式。

序列通项｛ T _n d ⁿ ｝的发生函数 （ T _n d ⁿ ） z ⁿ ＝（ ＋ ）

序列前n＋1项的和发生函数

应用（0.1）式，计算（0.4）式得（2）式。

序列｛（-1） ⁿ U _n d ⁿ ｝前n＋1项的和的发生函数

序列｛（-1） ⁿ T _n d ⁿ ｝前n＋1项的和的发生函数

应用式（0.2）计算式（0.5），（0.6），得式（3），（4）。定理1证毕。

定理 2含有三角函数的Chebyshev多项式有简捷闭形和式

两个复数相乘：（a）实部与实部相乘＋虚部与虚部相乘，利用三角函数公式

cos（ α - β ）＝cos α cos β ＋sin α sin β ，整理化简与（1）式左端实部相等得（5）式。

（b）前一复数实部乘以后一复数虚部＋前一复数虚部乘以后一复数实部

利用三角函数公式sin（ α - β ）＝sinαcos β -cos α sin β 整理化简与（1）式左端虚部相等得（6）式。

同法利用（2）式得（7），（8）式。定理2证毕。

定理 3含有三角函数正负相间Chebyshev多项式封闭形和式：

证明 令 d ＝ e ^jα ＝cos α ＋ j sin α ； j ＝ ， d ^k ＝（cos α ＋ j sin α ） ^k ＝cos kα ＋ j sin kα

两个复数相乘，（a）实部与实部相乘＋虚部与虚部相乘，利用三角函数公式

cos（ α - β ）＝cos α cos β ＋sin α sin β ，整理化简与（3）式左端实部相等得（9）式。

（b）前一复数实部乘以后一复数虚部＋前一复数虚部乘以后一复数实部

利用三角函数公式sin（ α - β ）＝sinαcos β -cos α sin β 整理化简与（3）式左端虚部相等得（10）式。同法利用（4）式得（11），（12）式。定理3证毕。 avG9Wu302kIYwc/mm2almlDp6F9dJFZykmZavOqWojmcR3wP6bqQbU70opmBWyIO