第三节
正负相间Lucas序列封闭形和式

熟知Lucas整数序列递推公式为： U _{n ＋2} ＝ pU _{n ＋1} ＋ qU _n ； V _{n ＋2} ＝ pV _{n ＋1} ＋ qV _n ；

我们利用发生函数方法首先得到正负相间一类含有等比数列的Lucas数封闭形和式计算公式。

其次利用复数隶莫弗乘法公式得到含有三角函数的正负相间Lucas数封闭形和式明显表达式。

定理 1设 U _n ， V _n 是Lucas序列，复数 d ≠0，则正负相间Lucas数和式

序列｛（-1） ⁿ U _n d ⁿ ｝前n项的和发生函数

比较（0.1）式两端 x ⁿ 的系数得到（1）式。

序列前n＋1项的和发生函数F（x）＝ ［ （-1） ^k V _k d ^k ］ x ⁿ ＝（ ＋ ）

应用（0.1）式，计算得（2）式。

定理 2关于含有三角函数正负相间Lucas序列封闭形和式

两个复数相乘：（a）前一复数实部乘以后一复数实部＋前一复数虚数乘以后一复数虚数，利用三角函数公式 cos （ α - β ）＝cos α cos β ＋sin α sin β ，整理化简与（1）式左端实部相等得（3）式。（b）前一复数实部乘以后一复数虚数＋前一复数虚数乘以后一复数实部

利用三角函数公式sin（ α - β ）＝sinαcos β -cos α sin β 整理化简与（1）式左端虚数相等得（4）式。同法利用（2）式得（5），（6）式。定理2证毕。

令 p ＝1， q ＝1我们有

推论 含有三角函数的正负相间的序列封闭形和式 ZCGIMW1qKG59Qhym+EMBL3lG+/uyN4BrQdi4+6hDZ9uhuh4xlTqGXtw99Oz8C6JD