第二节
Lucas序列封闭形和式

熟知 Lucas 整数序列［1］：U _n ＝（a ⁿ -b ⁿ ）/（a-b），U ₁ ＝1，U ₂ ＝p，

其中a，b是二次方程x ² -px＋q＝0的两个根（Δ＝ p ² ＋4 q ＞0） gcd （p，q）＝1，

U _n ，V _n 称为 Lucas 数，递推公式为：U _n＋2 ＝pU _n＋1 ＋qU _n ；V _n＋2 ＝pV _n＋1 ＋qV _n

我们利用发生函数方法首先得到一类含有等比数列的 Lucas 数封闭形和式计算公式。其次利用复数隶莫弗（ De . Moivre ）乘法公式得到含有三角函数的 Lucas 数封闭形和式明显表达式。若无特别说明，文中字母表示正整数。

定理 1设U _n ，V _n 是 Lucas 数，复数 d ≠a ^-t ，b ^-t ，则一类 Lucas 数和式：

证明 由 u _n ＝（ a ⁿ - b ⁿ ）/（ a - b ）， V _n ＝ a ⁿ ＋ b ⁿ .

序列｛ u _{r ＋ kt} d ^k ｝发生函数为

序列｛ u _{r ＋ kt} d ^k ｝发生函数为

注意到，若d＝ a - ^t ，（- q ） ^t d ² - dV _t ＋1＝ a - ^t （ b ^t - V _t ＋ a ^t ）＝0，

因此，限制d≠ a - ^t ， b - ^t

比较G（x）两端 x ⁿ 系数，得到（1）式。

序列D（x）＝｛ V _{r ＋ kt} d ^k ｝发生函数为

类似（1）式方法得（2）式，定理1证毕。

在式（1），（2）中令t＝1，d≠≠ a ^-1 ， b ^-1 ，有

推论 1设 U _n ， V _n 是Lucas数，复数d≠≠ a - ^t ， b - ^t ，则

定理 2设 u _n ，Vn是Lucas数，则Lucas数与三角函数乘积的和式

两个复数相乘：（a）实部与实部相乘＋虚部与虚部相乘，利用三角函数公式

cos（ α - β ）＝cos α cos β ＋sin α sin β ，整理化简与（1）式左端实部相等得（5）式。

（b）前一复数实部乘以后一复数虚部＋前一复数虚部乘以后一复数实部

利用三角函数公式sin（ α - β ）＝sinαcos β -cos α sin β 整理化简与（1）式左端虚部相等得（6）式，同法利用（2）式得（7），（8）式。定理2证毕。

在定理2中令 t ＝1，有下面

定理 3含有三角函数的Lucas数封闭形和式

在定理3中，令p＝q＝1，有

推论 2含有三角函数的Fibonacci数封闭形和式 7fKuqtDf4YM5/lzuwr2rgYctHcfg1rSrRGohp3f9JpK4PqBqTCbYdzOhOwmp1STi