如何将序列通项分拆成连续函数和或差,有如下收缩公式:
收缩公式1设 u k = f ( k )- f ( k +1),则 u k = f ( a )- f ( n +1), n ⩾ a ;
收缩公式2设 u k = f ( k )+ f ( k +1),
则 (-1) k u k =(-1) a f ( a )-(-1) n +1 f ( n +1), n ⩾ a ;
从通项表达式如何求得收缩公式 u k 是得到结果的关键。可用分式化成部分分式的方法。
设 = + = ,两端同次幂系数相等, A + B =0,( Ar + B ) xr k = r k , A + B =0,( Ar + B ) x =1; A = , B =- ;于是,得到 u k = ( - )。
可得到收缩公式 u k = ( - )。
可得到收缩公式 u k = ( - )。
可得到收缩公式 u k = [ - ]。
= + ,得到 A =1, B =-1,从而
同法可得
解 这类问题根据表达式特点,对通项进行裂项
(11)证明
注意到右端为 A 0 - A n ,通项应为某两项之差即 A k -1 - A k ,
令 x = n 2 , a k =- k 2 ,