第一节
利用收缩公式计算代数式封闭形和式

如何将序列通项分拆成连续函数和或差，有如下收缩公式：

收缩公式1设 u _k ＝ f （ k ）- f （ k ＋1），则 u _k ＝ f （ a ）- f （ n ＋1）， n ⩾ a ；

收缩公式2设 u _k ＝ f （ k ）＋ f （ k ＋1），

则 （-1） ^k u _k ＝（-1） ^a f （ a ）-（-1） ^{n ＋1} f （ n ＋1）， n ⩾ a ；

一 直接裂项法

从通项表达式如何求得收缩公式 u _k 是得到结果的关键。可用分式化成部分分式的方法。

设 ＝ ＋ ＝ ，两端同次幂系数相等， A ＋ B ＝0，（ Ar ＋ B ） xr ^k ＝ r ^k ， A ＋ B ＝0，（ Ar ＋ B ） x ＝1； A ＝ ， B ＝- ；于是，得到 u _k ＝ （ - ）。

可得到收缩公式 u _k ＝ （ - ）。

可得到收缩公式 u _k ＝ （ - ）。

可得到收缩公式 u _k ＝ ［ - ］。

＝ ＋ ，得到 A ＝1， B ＝-1，从而

同法可得

解 这类问题根据表达式特点，对通项进行裂项

（11）证明

注意到右端为 A ₀ - A _n ，通项应为某两项之差即 A _{k -1} - A _k ，

令 x ＝ n ² ， a _k ＝- k ² ， 6y7rRAeilAVFpra+x8GHEUKEOr6k6FwAfMlAXe42YaOgXcXR0ktybO9rL1dRUC+w

二 添加上一个元素逐步收缩得到结果

三 利用恒等式计算和式封闭形和式