前言

所谓封闭形和式，就是序列和式∑f（n）＝F（n）。和式的结论F（n）表达式仅与项数n有关的代数式。

著名的菲波那契（Fibonacci）的通项公式F（n）。佩尔（Pell）数列通项P（n），佩尔-卢卡斯（Pell-Lucas）数列通项C（n），切贝雪夫（chebyshev）序列通项T（n）与U（n）都是用封闭形给出的。雅克·贝努里（J．Bernoulli），牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）发现了一些用封闭形表示的无穷级数。欧拉（Euler）首先证明了黎曼Zeta函数 ζ （2）＝ π ² /6。其后许多数学专家用各种数学方法与技术讨论研究有限和与无穷和封闭形表示，取得丰硕成果。

封闭形公式简捷明了赏心悦目。寻求函数封闭形和式是许多人研究的对象，也是作者长期研究的问题。我们利用一些数学工具使用多种数学方法得到一些封闭形和式。利用收缩公式给出一些分式有限和式，利用发生函数与复变函数性质给出二阶递推序列带有三角函数的封闭形和式。根据和角与差角的反正切公式，给出分式有限和以及分式级数和式。利用递推关系，给出将正整数1分拆成任意个单位分数之和的计算公式。利用已知级数公式与复变函数性质得到一些对偶三角函数和式与高次幂的三角函数无穷和。利用微分，积分给出组合数倒数级数与系数为组合数倒数的对偶三角函数级数。由简单代数式导出一些组合封闭形和式。利用Melzak公式得到一些组合数序列和式。利用形式剩余证明哈代（Hardy）恒等式。根据伽玛白塔函数与组合数的关系给出一些组合数倒数有限和。利用雅科比（jacobi）与萨尔斯胡兹（Saalschutz）求和公式按照一定程序计算出未知组合数和式的封闭形和式。利用二阶矩阵A的n次幂 A ⁿ 中元素a，b，c，d与矩阵的迹与行列式关系得到一些有趣的组合恒等式。使用库末（kummer）恒等式与二项式定理推导一些有趣的组合恒等式。利用文献已知的4个级数恒等式，用不定积分方法得到一批新的组合数的级数和式，用定积分方法得到系数为组合数倒数的级数计算公式。利用 r 次单位根的性质和复变函数性质得出组合数多重分割求和计算公式。利用一个已知级数使用裂项法得出中心型组合数倒数级数，它们的分母含有1到5个奇因子与组合数乘积表达式，如果对这个级数继续使用裂项法可以得到分母含有1到6个，1到7个，…，1到 p 个奇因子的组合数倒数级数，所给出组合数倒数级数的和式是封闭形的。改造一个级数成为非中心型组合数级数，对这个非中心型组合数级数裂项得到非中心型组合数级数，它们的分母含有1到5个因子，如果对这个级数继续使用列项法可以得到分母含有1到6个，1到7个，…，1到 p 个因子的组合数级，所给出二项式系数级数的和式是封闭形的。利用级数的和函数理论给出一些非中心型组合数倒数级数，选择一些非中心型组合数倒数级数，对它们进行裂项运算构造出一批新的分母含有1到5个奇因子的非中心型组合数的倒数级数，如果继续使用裂项法可以得到分母含有1到6个，1到7个，…，1到 p 个奇因子的非中心型组合数倒数级数，所给出组合数倒数级数的和式是封闭形的。

封闭形和式在数学各个领域广泛存在。在讨论研究有限和与无穷和的封闭形和式方面我们获得一些初步结果。使用数学工具和数学方法比较初等。本书为深入讨论研究封闭形和式起引玉之砖作用，是研究封闭形和式的参考书。

本书获得银川能源学院科研基金资助。

及万会张来萍杨春艳2013年6月于银川能源学院