第九节
关于一类反正切丢番图方程

设 x _i 正整数（i＝1，2，…，n）我们讨论下面反正切丢番图方程整数解问题：

是方程（1）一组整数解。

证明 熟知公式，当 u ＞0， v ＞0有反正切等式

利用基本公式（A）容易得到：

利用公式（B），令 n ＝1，2，…， n -2， n -1得到下面等式

这 n -1个等式两端分别相加，得到

整数组（2）是方程（1）正数数解。

是方程（1）一组整数解，即即下面方程成立

证明 对 n 用数学归纳法

1）当 n ＝3，两项反正切和.arctan ＋arctan ＝arctan

所以arctan ＋arctan ＝arctan（1）＝

2）假设 n ＝ m 是命题成立，

那么当 n ＝ m ＋1，有

由1），2）证明了当正整数 n ⩾3整数组（3）是方程（1）正整数解。

是方程（1）一组整数解，即下面方程成立

2）假设 n ＝ m 是命题成立，即

那么当 n ＝ m ＋1，

由1），2）证明了当正整数 n ⩾2，数组（4）为方程（1）的整数解。

例 1用公式整数组（2），（3）（4）分别写出方程（1）的整数解

方程（1）是否有其它类型的整数解？除了整数组（2），（3），（4）为方程（1）的整数解外，我们可以用（A）式用解方程的方法求的方程（1）另外形式的整数解。

例 2下面当 n ＝2，3时通过解方程的方法求方程（1）整数解。

方程改写为（ x -1）（ y -1）＝2，所以 x -1＝1， y -1＝2，

得到方程解 x ＝2， y ＝3或 x ＝3， y ＝2.

即得到arctan ＋arctan ＝ 或arctan ＋arctan ＝

根据基本公式（A）式，有arctan ＋arctan ＋arctan ＝arctan

这里考虑两种情况：

a）当 z 为偶数，由（9）式必有（ z -1）｜（ x ＋ y ），即 x ＋ y ＝ k （ z -1）；

从（9）式得到 xy -1＝ k （ z ＋1），那么

有 xy ＋1- x - y ＝2 k ＋2，即（ x -1）（ y -1）＝2（ k ＋1）。

设 d 是2（ k ＋1）的任意因子，则 x -1＝ d ， y -1＝ ， z ＝ ＋1.

显然（10）式得到 k 的有限个值是满足的，用这个方法得到方程的解。

例如， d ＝1，

（10）式推出 k ｜［3＋2（ k ＋1）］，有3＋2（ k ＋1）＝ kt ，5＝（ t -2） k ，

5 的因子只有1，5

当 k ＝1，得到方程解 x ＝2， y ＝5， z ＝8.

当 k ＝5得到方程解 x ＝2， y ＝13， z ＝4即

当 d ＝2，（10）式表示 k ｜［4＋（ k ＋1）］，有5＋ k ＝ kt ，＝（ t -1） k ，

则5的因子只有1，5

当 k ＝1，得到方程解 x ＝3， y ＝3， z ＝7.当 k ＝5得到方程解 x ＝3， y ＝7， z ＝3.

b）当 z 为奇数。则z＝2m＝1，给出z＋1＝2（m＋1），z-1＝2m.

所以（9）式给出

这里要 m ｜（ x ＋ y ），即 x ＋ y ＝ Am ，从（11）式有 xy -1＝（ m ＋1） A ，

代入 xy -1- x - y ＝ A .

得出（ x -1）（ y -1）＝ A ＋2．这又回到情况 a ）。于是讨论结束。

我们讨论下面反正切和式计算与反正切和式无穷和式极限值问题。

例 3下列等式成立

证明 （1）对 n 用数学归纳法

1）当 n ＝2，及前两项反正切和arctan1＋arctan ＝arctan ＝arctan2.

命题真。

2）假设 n ＝ m 是命题成立，即 arctan ＝arctanm.

由1），2）证明命题对任何正整数 n ⩾2成立。

显然，整数数组｛ k ² - k ＋1｝是方程（12）正整数解。

参考文献

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